浙江省嘉兴市职业中学高一数学理期末试题含解析

浙江省嘉兴市职业中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知平面向量，，满足||=，||=1，?=﹣1，且﹣与﹣的夹角为45°，则||的最大值等于（　　） 　 A． B．2 C． D．1 参考答案： A 2. 已知函数是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数，则实数a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 考点：函数单调性的性质． 专题：转化思想；定义法；函数的性质及应用． 分析：根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可． 解答：解：若f（x）是定义域（﹣∞，+∞）上的单调递减函数， 则满足， 即，即＜a≤， 故选：B 点评：本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式关系是解决本题的关键 3. 学校举办了一次田径运动会，某班有8人参赛，后有举办了一次球类运动会，这个班有12人参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 参考答案： A 【考点】Venn图表达集合的关系及运算． 【分析】设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card（A），card（B），card（A∩B）是已知的，于是可以根据上面的公式求出card（A∪B）． 【解答】解：设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}， A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}， A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}． 因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17． 故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛． 故选：A 4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若,则Sn中最大的是（    ） A．         B．       C．        D． 参考答案： 5. 设x，y满足约束条件，则的最小值为（  ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 参考答案： B 【分析】 结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解 【详解】 如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法 6. 若角是第四象限角，则是（    ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 参考答案： C 【分析】 已知是第四象限的角，由是将的终边逆时针旋转，得到角终边所在的位置. 【详解】角是第四象限角. ，则 故是第三象限角.故选C. 【点睛】本题考查的知识点是象限角，熟练掌握象限角的定义是解题的关键. 7. 如右图所示，是圆的直径，是异于，两点的圆周上的任意一点，垂直于圆所在的平面，则，，，中，直角三角形的个数是（　　）    Ａ．              Ｂ．           Ｃ．           Ｄ． 参考答案： D 8. 函数的大致图象是（    ） 参考答案： B 9. 函数f（x）=（m2﹣m﹣5）xm﹣1是幂函数，且当x∈（0，+∞）时f（x）是增函数．则实数m=（　　） A．3或﹣2 B．﹣2 C．3 D．﹣3或2 参考答案： C 【考点】幂函数的性质． 【分析】函数f（x）=（m2﹣m﹣5）xm﹣1是幂函数，且当x∈（0，+∞）时f（x）是增函数．可得m2﹣m﹣5=1，m﹣1＞0，解出即可． 【解答】解：∵函数f（x）=（m2﹣m﹣5）xm﹣1是幂函数，且当x∈（0，+∞）时f（x）是增函数． ∴m2﹣m﹣5=1，m﹣1＞0， 解得m=3． 故选：C． 10. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知，则 A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 设等差数列的公差为，由题意列出方程组，求得的值，进而利用公式，求得，即可得到答案． 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 所以，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，其中解答中根据题意求得得出数列的首项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等边三角形的边长为a，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 参考答案： a3 12. 函数的零点有__________个． 参考答案： 1 函数的零点个数等价于方程解的个数， 分别作出和的图象， 由图可知，两函数图象有且只有个交点， 故函数的零点有且只有一个． 13. 关于x的不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0的解集为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [，+∞） 【考点】其他不等式的解法． 【分析】将不等式恒成立进行参数分类得到a≥，利用换元法将不等式转化为基本不等式的性质，根据基本不等式的性质求出的最大值即可得到结论． 【解答】解：不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0， 则a（x2+3）≥|x+1|， 即a≥， 设t=x+1，则x=t﹣1， 则不等式a≥等价为a≥==＞0 即a＞0， 设f（t）=， 当|t|=0，即x=﹣1时，不等式等价为a+3a=4a≥0，此时满足条件， 当t＞0，f（t）==，当且仅当t=， 即t=2，即x=1时取等号． 当t＜0，f（t）==≤， 当且仅当﹣t=﹣， ∴t=﹣2，即x=﹣3时取等号． ∴当x=1，即t=2时，fmax（t）==， ∴要使a≥恒成立，则a， 方法2：由不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0， 则a（x2+3）≥|x+1|， ∴要使不等式的解集是（﹣∞，+∞），则a＞0， 作出y=a（x2+3）和y=|x+1|的图象， 由图象知只要当x＞﹣1时，直线y═|x+1|=x+1与y=a（x2+3）相切或相离即可， 此时不等式ax2﹣|x+1|+3a≥0等价为不等式ax2﹣x﹣1+3a≥0， 对应的判别式△=1﹣4a（3a﹣1）≤0， 即﹣12a2+4a+1≤0， 即12a2﹣4a﹣1≥0， （2a﹣1）（6a+1）≥0， 解得a≥或a≤﹣（舍）， 故答案为：[，+∞） 14. 已知,则=          . 参考答案： {2, 5, 6} 15. 已知，则的最小值为_____． 参考答案： 2 【分析】 首先分析题目，由已知，求的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用基本不等式代入已知条件，化简为不等式，解不等式即可，． 【详解】解：由题可得： （当且仅当时取等号）， 整理得：， 即：， 又：， 所以： （当且仅当时取等号）， 则：的最小值是2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。 16. 已知sina=2cosa，则tan2a的值为　    　． 参考答案： ﹣ 【考点】二倍角的正切；同角三角函数间的基本关系． 【分析】将已知等式左右两边同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanα的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanα的值代入即可求出值． 【解答】解：∵sina=2cosa，即tanα=2， ∴tan2α===﹣． 故答案为：﹣ 17. 函数的单调增区间是__     ______． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题10分）已知圆经过、两点，且圆心在直线上. (1) 求圆的方程； (2) 若直线经过点且与圆Ｃ相切，求直线的方程. 参考答案： 解：（１）设圆的方程为  　　依题意得： 　　　　　　     　　　　　　                         　解得                        所以圆Ｃ的方程为           　　　　（２）由于直线Ｌ经过点（－１，３），故可设直线Ｌ的方程为        即：                   因为直线Ｌ与圆Ｃ相切，且圆Ｃ的圆心为（２，４），半径为所以有　　　　                                          解得k=2或k= -  所以直线Ｌ的方程为即： 或. 19. 已知点与圆. （1）设Q为圆C上的动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程； （2）过点作圆C的切线l，求l的方程. 参考答案： （1）；（2）或 【分析】 （1）设出点，借助点得出的轨迹方程； （2）利用点到切线距离等于半径，求出切线方程. 【详解】解：（1）设 因为线段的中点为， 故， 因为为圆上的动点， 所以， 即， 即的轨迹方程； （2）当切线的斜率不存在时， 直线方程为，满足题意； 当切线的斜率存在时， 则设切线方程为，即， 故， 解得：， 此时切线方程为. 所以切线方程为或. 【点睛】本题考查了点的轨迹问题、直线与圆相切的问题，解决动点轨迹常见的方法有直译法、定义法、相关点法、参数法等等，解题时应注意灵活应用. 20. （14分）已知f（logax）=（x﹣）（a＞0，且a≠1） （1）求f（x）的解析式； （2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性； （3）若不等式f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 考点： 函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： （1）利用换元法令logax=t，则x=at，代入f（logax）=（x﹣）即可求得函数f（x）的解析式； （2）函数的定义域为R，由f（﹣x）=﹣f（x）证明函数为奇函数，求导后由导函数恒大于0可得f（x）为R上的单调增函数； （3）由函数的单调性和奇偶性把f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立转化为3t2﹣1＞﹣4t+k对任意t∈[1，3]都成立，即3t2+4t﹣1＞k对任意t∈[1，3]都成立，求出3t2+4t﹣1在[1，3]上的最小值可得k的取值范围． 解答： （1）令logax=t，则x=at， 由f（logax）=（x﹣），得f（t）=， ∴f（x）=， （2）∵定义域为R，且f（﹣x）==﹣=﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数， ∵f′（x）==， 当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0， ∴f（x）为R上的单调增函数； （3）f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立， 即f（3t2﹣1）＞﹣f（4t﹣k）对任意t∈[1，3]都成立， 也就是f（3t2﹣1）＞f（﹣4t+k）对任意t∈[1，3]都成立， 即3t2﹣1＞﹣4t+k对任意t∈[1，3]都成立， 即3t2+4t﹣1＞k对任意t∈[1，3]都成立， ∵在t∈[1，3]上的最小值为． ∴k＜． 则k的取值范围是（﹣∞，）． 点评： 本题考查了函数奇偶性和单调性的形状，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数的最值得求法，是中档题． 21. 已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1． （Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率． （