浙江省温州市西湾中学高三数学理下学期期末试卷含解析

浙江省温州市西湾中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设各项均不为0的数列{an}满足(n≥1)，Sn是其前n项和，若，则S4= (A)  4          (B) (C)          (D) 参考答案： 【知识点】等比数列. D3  【答案解析】D  解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求. 2. 直线截圆得到的劣弧所对圆心角等于（    ） A．       B．       C．      D． 参考答案： C 3. 设的内角所对边的长分别为, 若 且的面积为2，则（    ）     A.            B.              C.              D. 参考答案： D 4. 已知是虚数单位，则等于（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 5. 若，则的定义域为（  ） A．       B．        C．         D． ． 参考答案： A 略 6. 若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形， 则其侧面积等于（     ）. （A）     (B)   （C）   (D) 参考答案： C 7. 已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（　　） A．﹣ B．﹣7 C． D．7 参考答案： C 【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化． 【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案． 【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣， ∴tan（α+）==， 故选C． 【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题． 8. 函数　的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（　 ） 　　A．　　　　　　　 B． 1 　　　　　　　 C． 2　　　　　　 D． 参考答案： A 根据积分的应用可求面积为 ，选A. 　 9. 已知集合，则=(    ) A．     B．     C．    D． 参考答案： D 10. 对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则的值为（   ） A．45               B．46              C．47              D．48  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则DABC的形状一定为___________. 参考答案： 12. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值      ． 参考答案： 考点：异面直线及其所成的角． 专题：空间角． 分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值． 解答： 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴， 建立空间直角坐标系， 则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0）， B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4）， P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1）， ∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0）， 设异面直线PQ与AC所成角为θ， cosθ=｜cos＜＞｜=｜｜=， ∴sinθ==． 故答案为：． 点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 13. 在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项． 参考答案： 4 【分析】 先写出展开式的通项：由0≤r≤10及5为负整数，可求r的值，即可求解 【详解】展开式的通项为其中r＝0，1，2…10 要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10 故含x的负整数指数幂的项共有4项 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值 14. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5、S4、S6成等差数列，则数列{an}的公比q的值等于　　． 参考答案： ﹣2 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】根据题意，由S5、S4、S6成等差数列，可得2S4=S5+S6，分2种情况讨论：①q=1、②q≠1，分别代入等比数列的前n项和公式，计算可得q的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，S5、S4、S6成等差数列，则2S4=S5+S6成等差数列， ①、当q=1时，Sn=na1， 则S5=5a1，S4=4a1，S6=6a1， S5、S4、S6成等差数列不成立，故舍去． ②、当q≠1时，有2=+， 变形可得：0=2a5+a6， ∴a5（2+q）=0，解得q=﹣2． 则数列{an}的公比为q=﹣2， 故答案为：﹣2． 15. 已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作     双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为          .  参考答案： 16. 设，在二项式的展开式中，含的项的系数与含的项的系数相等，则的值为        ． 参考答案： 1 略 17. 如图，正方体棱长为,点分别在直线上, 若直线与棱相交, 则的最小值是        ． 参考答案： 试题分析:建立如图所示坐标系,则.设是上任意一点,则,故,即,也即.,所以,将代入可得,因,故,当且仅当时取等号.故应填答案. 考点：空间向量的有关知识及基本不等式的综合运用． 【易错点晴】本题借助几何体的几何特征,巧妙地构建空间直角坐标系.借助是上任意一点,则,故,即,也即.,所以,将代入可得,将问题转化为求函数的最小值的问题.然后用基本不等式求的最小值为,进而使得问题获解. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为. （I）求函数的解析式及的取值范围； （II）求函数的最大值. 参考答案： （I）由已知可得，所以点的横坐标为, 因为点在点的左侧，所以，即. 由已知，所以，          所以 所以的面积为.-- （II）                 由，得（舍）,或.                   函数与在定义域上的情况如下： 2 + 0 ↗ 极大值 ↘                                              所以当时，函数取得最大值8. 19. (本小题满分12分)   如图，在三棱柱ABC—A1B1 C1中，四边形A1ABB1为菱形，   ，四边形BCClB，为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．   (1)求证：AB1平面A1BC；   (2)求二面角C-AA1-B的余弦值． 参考答案： （1）略（2）【知识点】单元综合G12 （1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3， 所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1， 因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B， 又因为AB1?平面AA1B1B，所以CB⊥AB1， 又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B， 因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC； （2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD 因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1， 因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD， 又因为CD?面BCD，所以AA1⊥CD， 所以，∠CDB就是二面角C-AA1-B的平面角． 在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2 在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=， 所以cos∠CDB==． 【思路点拨】（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证； （2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C-AA1-B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C-AA1-B的余弦值． 20. 已知函数的导函数. （I）求函数的最小值和相应的值； （II）若的值. 参考答案： 略 21. 如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF=2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EF∥BC，O为EF的中点． （1）求证：AO⊥CF； （2）求O到平面ABC的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）证明AO⊥EF，推出AO⊥平面EFCB，即可证明AO⊥CF． （2）取BC的中点G，连接OG．推出OG⊥BC，OA⊥BC，得到BC⊥平面AOG，过O作OH⊥AG，垂足为H，说明OH⊥平面ABC，O到平面ABC的距离为OH，求解即可． 【解答】（1）证明：因为△AEF等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF… 又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，平面AEF∩平面EFCB=EF， 所以AO⊥平面EFCB，… 又CF?平面EFCB，所以AO⊥CF… （2）解：取BC的中点G，连接OG． 由题设知，OG⊥BC… 由（1）知AO⊥平面EFCB， 又BC?平面EFCB，所以OA⊥BC，因为OG∩OA=O，所以BC⊥平面AOG… 过O作OH⊥AG，垂足为H，则BC⊥OH，因为AG∩BC=G，所以OH⊥平面ABC． … 因为，所以， 即O到平面ABC的距离为．（另外用等体积法亦可）… 22. 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD， 且AE⊥平面CDE，AE=1． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE； （Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥面ADE． （Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分15分） 证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分） ∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分） 又∵AE∩AD=A， ∴CD⊥面ADE．过E作EF⊥AD交AD于F，连BF， ∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分） ∴EF⊥平面ABCD， ∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分） ∵BE=，，∴， ∴． ∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为．（15分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．