江西省赣州市项山中学高二数学理上学期期末试题含解析

江西省赣州市项山中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知i为虚数单位，复数，则复数z的虚部为 A. 1      B. －1        C. －i      D. i 参考答案： B 由题意得， 所以复数z的虚部为－1．选B．   2. 如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（   ） A．          B．        C．        D． 参考答案： A 3. 函数y=x2cosx的导数为  （    ） A.  y′=2xcosx－x2sinx B.   y′=2xcosx+x2sinx C.   y′=x2cosx－2xsinx D. y′=xcosx－x2sinx 参考答案： A 略 4. 设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由可得a，c的关系，由离心率的定义可得． 【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，）， ∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ））， ∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=， 又由λμ=得=，解得=， ∴e== 故选C． 5. 一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（    ） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略 D. 若，则乙有必赢的策略 参考答案： A 【分析】 乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解。 【详解】若，则乙有必赢的策略。 （1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。 （2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。 （3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。 所以若，则乙有必赢的策略 所以选A 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于难题。 6. 采用系系统抽样方法从480人中抽取 16人做问卷调查, 为此将他们随机编号为1 、2、…、480, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中, 编号落人区间［1, 160］的人做问卷A, 编号落入区问［161, 320］的人做问卷B, 其余的人做问卷C, 则被抽到的人中, 做问卷B的人数为(   ) A．4 B．5 C．6 D．7 参考答案： B 略 7. 已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，△P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质． 【专题】计算题；压轴题；探究型． 【分析】由题意，可根据双曲线的定义及题设中三边长度成等差数列得出方程|PF1|﹣|PF2|=4与2|PF1|=|PF2|+2c，由此两方程可解出|PF1|=2c﹣4，|PF2|=2c﹣8，再由∠F1 P F2=120°，由余弦定理建立关于c的方程，解出c的值，即可由公式求出离心率的值． 【解答】解：由题，不妨令点P在右支上，如图，则有 |PF1|﹣|PF2|=4  ① 2|PF1|=|PF2|+2c   ② 由①②解得|PF1|=2c﹣4，|PF2|=2c﹣8 又∠F1 P F2=120°，由余弦定理得 4c2=（2c﹣4）2+（2c﹣8）2+（2c﹣4）×（2c﹣8） 解得，c=7或c=2（舍） 又a=2，故e= 故选D 【点评】本题考查双曲线的简单性质及等差数列的性质，解题的关键是熟练掌握基础知识且能灵活选用基础知识建立方程求参数，本题考查了方程的思想及转化的思想 8. 已知集合，集合，则 等于  A．   B．   C．        D． 参考答案： A 略 9. 设数列{an}满足，则an =（    ） A.           B.            C.            D. 参考答案： D ① 当n 时，  ②， ①- ②： ，故 （n ）， 当n=1时，，故选D.   10. 在中,分别是角的对边，若    A.  B. C.  D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如下图，已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为    __     ； 参考答案： 12. 设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为       ． 参考答案： 3 13. 已知数列的前项和，则其通项公式____________. 参考答案： 略 14. 设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数；              ②整数集是数域； ③若有理数集QM,则数集M必为数域;    ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是          .（把你认为正确的命题的序号都填上） 参考答案： ①④ 15. 展开式的常数项为          参考答案： -20 16. 已知实数满足线性约束条件，则的取值范围是           ． 参考答案： 略 17. 已知函数f(x)＝ln x－f′ ()x2＋3x－4，则f′(1)＝________． 参考答案： －1 根据题意，函数f(x)＝ln x－f′ ()x2＋3x－4， 其导数 ，令 ， 令 ，则 即答案为－1.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层  2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？  （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 参考答案： 解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得 则，令，即，解得 当时，；当时，， 因此，当时，取得最小值，元.    答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层 19. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx在x=﹣与x=1处都取得极值． （1）求a，b的值； （2）求曲线y=f（x）在x=2处的切线方程． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即可， （2）求出切点坐标，利用导数几何意义求出切线斜率k，即可求解切线方程 【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+bx，f′（x）=3x2+2ax+b， 由f′（）=﹣a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0， 得a=﹣，b=﹣2， 经检验，a=﹣，b=﹣2符合题意； （2）由（1）得f′（x）=3x2﹣x﹣2， 曲线y=f（x）在x=2处的切线方程斜率k=f′（2）=8， 又∵f（2）=2， ∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=8（x﹣2）， 即8x﹣y﹣14=0为所求． 20. 已知抛物线的方程为，过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点作抛物线的两条切线和，记和相交于点. （1）证明：直线和的斜率之积为定值； (2)求证：点在一条定直线上. 参考答案： （1）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 将其代入，消去整理得. 设的坐标分别为， 则. 将抛物线的方程改写为，求导得. 所以过点的切线的斜率是，过点的切线的斜率是， 故， 所以直线和的斜率之积为定值. （2）设.因为直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 联立这两个方程，消去得， 整理得，注意到，所以. 此时. 由（1）知，，所以， 所以点在定直线上. 21. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且， （1）求角C的值； （2）若a=1，△ABC的面积为，求c的值． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】（1）在锐角△ABC中，由及正弦定理得求出，从而求得C的值． （2）由面积公式求得b=2，由余弦定理求得c2的值，从而求得c的值． 【解答】解：（1）在锐角△ABC中，由及正弦定理得，，… ∵sinA≠0，∴，∵△ABC是锐角三角形，∴．… （2）由面积公式得，，∵，∴b=2，…． 由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴．… 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题． 22. 设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可． （Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为 |x﹣1|≥2． 由此可得x≥3或x≤﹣1． 故不等式f（x）≥3x+2的解集为 {x|x≥3或x≤﹣1}． （Ⅱ）由f（x）≤0得 |x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x} 由题设可得﹣=﹣1，故a=2