湖南省常德市第二中完全中学高一数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，F1，F2是双曲线(a＞0,b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
参考答案：
B
设 ；
因此 ；
选B.
2. 设集合A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，则集合A∪B=（ ）
A、{5,8} B、{4,5,6,7,8} C、{3,4,5,6,7,8} D、{5,6,7,8}
参考答案：
C
集合A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，则A∪B={3,4,5,6,7,8}.
3. 函数的单调增区间是（ ）．
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
4. 若，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．
【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；
B选项不正确，若时就不成立；
C选项不正确，同B，时就不成立；
D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．
【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．
5. 总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A. 08 B. 07 C. 01 D. 02
参考答案：
C
【分析】
根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【详解】从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为16，08，02，14，07，02，01，04，其中第三个和第六个都是02，重复．
可知对应的数值为．16，08，02，14，07，01
则第6个个体的编号为01．
故选：C．
【点睛】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
6. 已知，在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数的值是… ( )
A. 2 B. -2 C. 2,-2 D. 0
参考答案：
C
略
7. 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
参考答案：
B
【分析】
正四棱锥 ，连接底面对角线 ，在中，为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案.
【详解】正四棱锥 ，连接底面对角线， ，易知为等腰直角三角形.
中点为 ，又正四棱锥知：底面
即 为所求角为 ，答案为B
【点睛】本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力.
8. 设，，，则：
A． B. C． D.
参考答案：
B
略
9. 已知：定义在R上的奇函数满足，则的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
参考答案：
B
略
10. 从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为
参考答案：
72%
12. 经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程 ．
参考答案：
x2+y2-x+7y-32=0
略
13. 已知，则的最小值是 ．
参考答案：
14. 三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值．”
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值．”
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象．”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是
参考答案：
15. 某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业
情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市 家.
参考答案：
20
16. 方程的解为 ．
参考答案：
x=－2
令，
则
解得：或
即，∴
17. 下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是 ．（填相应函数的序号）．
参考答案：
③
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据幂函数的性质进行判断即可．
【解答】解：：①的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．；
②y=x﹣2=定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==f（x），则函数是偶函数，在（0，+∞）上单调单调递减，不满足条件．
③=，函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=f（x），则函数为偶函数，则（0，+∞）上单调递增，满足条件．；
④的定义域为（﹣∞，+∞），函数为奇函数，不满足条件；
故答案为：③
【点评】本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆，直线.
(1)求直线所过定点的坐标；
(2)求直线被圆所截得的弦长最短时的值及最短弦长.
(3)已知点，在直线上(为圆心)，存在定点(异于点)，满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数.
参考答案：
(1)依题意得，，
令，且，得，，∴直线过定点.
(2)当时，所截得弦长最短，由题知，.
∴，得，∴由得.
∴圆心到直线的距离为.
∴最短弦长为.
(3)法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，
则设，，得，且，
∴，
∴，
整理得：，
∵上式对任意恒成立，
∴且，
解得，或，(舍去，与重合)，
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.
法二：设直线上的点.
取直线与圆的交点，则，
取直线与圆的交点，则，
令，解得或(舍去，与重合)，此时，
若存在这样的定点满足题意，则必为.
下证：点满足题意，
设圆上任意一点，则，
∴，
∴.
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数.
19. 已知，函数．
（）当时，解不等式．
（）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值．
（）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
参考答案：
见解析
解：（）当时，不等式化为：，
∴，
∴，解得：．
故不等式的解集为：．
（）方程，即，
∴，
若，解得，经验证满足题意；
若，令，
解得：，此时，
经验证满足题意．
综上所述，或．
（）∵，对任意，函数在区间上单调递减，
∴，
∴，
化简得：
，对一切恒成立，
∴，
∴当时，，
∴，
故的取值范围是：．
20. 已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．
（Ⅰ）求 sinx?cosx的值；
（Ⅱ）求的值．
参考答案：
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．
【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx?cosx的值；
（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，
且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，
∴cosx=﹣，sinx=．
那么：sinx?cosx=．
（Ⅱ）
原式====﹣3．
【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．
21. 设函数，常数.
（1）若，判断在区间上的单调性，并加以证明；
（2）若在区间上的单调递增，求的取值范围.
参考答案：
略
22. ks5u
（本小题满分14分）
已知函数f(x)=loga在定义域D上是奇函数，(其中a>0且a≠1)．
(1)求出m的值，并求出定义域D；
(2)判断f(x)在(1, +∞)上的单调性（不必证明）；
(3)当x?(r, a–2)时，f(x)的值的范围恰为(1, +∞)，求a及r的值．
参考答案：
解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)= –f(x)，所以loga= loga，………2分
即1–m2x2=1–x2对一切x?D都成立，以m2=1，m= ±1，
由于>0，所以m= –1, ……………4分
所以f(x)= loga，D=(–∞, –1)∪(1, +∞)……………5分
(2)当a>1时，f(x)在(1, +∞)上单调递减，当0
3，……… 9分
所以f(x)在(r, a–2)上为减函数，值域恰为 (1, +∞)，所以f(a–2)=1，
即loga=loga=1，即=a，所以a=2+且r=1 ……12分
2o当r<1时，则(r, a–2) (–∞, –1)，所以0
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