湖南省娄底市涟源蓝田中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省娄底市涟源蓝田中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ） A. 46，45，56 B. 46，45，53 C. 47，45，56 D. 45，47，53 参考答案： A 由概念知中位数是中间两数的平均数，即众数是45，极差为68-12=56.所以选A. 点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体. 2. 如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴 管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后分钟，瓶内 液面与进气管的距离为厘米，已知当时，，如果瓶内的药 液恰好156分钟滴完，则函数的图象为（    ） 参考答案： A 略 3. 根据右边框图，对大于2的整数N,输出的数列通项公式是（  ） (A)    (B)    (C)   (D) 参考答案： C 4. 如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（　　） A．0 B．5 C．45 D．90 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件； 故输出的m值为45， 故选：C 5. 从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（    ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 参考答案： C 【分析】 由题意，把问题分为三类：当三个数分别为，，三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况： （1）当三个数为时，共有种排法； （2）当三个数为时，共有种排法； （3）当三个数为时，只有1中排法， 由分类计数原理可得，共有种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 18.记椭圆围成的区域（含边界）为（n=1,2,…）.当点（x,y）分别在，，…上时，x+y的最大值分别是M1,M2,…，则=(    ) （A）0    （B）  （C）2   （D） 参考答案： D 7. 若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 ( ) A、－4 （B）－ （C）4 （D） 参考答案： D 8. 已知集合，则集合中元素的个数是(      ) (A) 1       (B) 3         (C) 5          (D) 9 参考答案： C 9. 从这10个数中选出互不相邻的3个数的方法种数是（    ）                             参考答案： A 10. 定义域是一切实数的函数y=f（x），其图像是连续不断的，且存在常数（∈R）使得f（x+）+f（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“～伴随函数”．有下列关于“～伴随函数”的结论：   ①f（x）=0是常数函数中唯一一个“～伴随函数”；   ②“～伴随函数”至少有一个零点；   ③f（x）= x2是一个“～伴随函数”；   其中正确结论的个数是   A．1个    B．2个    C．3个  D．0个 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的最大值为，最小正周期为，则有序数对为          . 参考答案： 略 12. 已知，则__________. 参考答案： 13. 设向量，满足|+|=，|﹣|=，则?=　　． 参考答案： 1 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】将已知的两个等式分别平方相减即得． 【解答】解：由已知得到|+|2=15，|﹣|2=11， 即=15， =11， 两式相减得到4，所以=1； 故答案为：1． 【点评】本题考查了平面向量的模的平方与向量的平方相等的运用．属于基础题． 14. 如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，已知，，则当最大时，三棱锥P-ABC的体积为__________． 参考答案： 4 设，则，，， ，当且仅当，即时，等号成立. , 故答案为：4 15. （坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为＿＿ 参考答案： （1,1）     16. 已知直线与曲线相切，则的值为____________. 参考答案： 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】-1 设切点坐标为（m，n）y'|x=m= =1解得，m=1切点（1，n）在曲线y=lnx的图象上 ∴n=0，而切点（1，0）又在直线y=x+a上∴a=-1故答案为-1． 【思路点拨】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx-1的图象上又在直线y=x+a上，即可求出b的值． 17. =              ． 参考答案： 2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列的前项和为.已知,,. (Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 求数列的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数,有. 参考答案： 解: (1) 解: ,. 当时, 又, (2)解: ,.    ① 当时,        ② 由① — ②,得 数列是以首项为,公差为1的等差数列. 当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知, ①当时,,原不等式成立. ②当时, ,原不等式亦成立. ③当时, 当时原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有.   略 19. 已知函数的最小正周期为3π． （I）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值； （II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，，求角C的大小； （Ⅲ）在（II）的条件下，若，求cosB的值． 参考答案： 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；三角函数的最值． 【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】（I）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，利用周期公式可求ω，由时，可得：，根据正弦函数的图象和性质即可得解． （II）由已知，由正弦定理结合sinA≠0，可得，结合a＜b＜c，即可求C的值． （Ⅲ）由得，由（II）可求sinA，，从而利用两角和与差的余弦函数公式即可求值． 【解答】解：（I）∵， 由函数f（x）的最小正周期为3π，即，解得， ∴， ∵时，可得：，∴， 所以x=﹣π时，f（x）的最小值是﹣3，时，f（x）的最大值是1． （II）由已知，由正弦定理，有==， 又sinA≠0， ∴， 又因为 a＜b＜c， ∴． （Ⅲ）由得． ∵， ∴．由知， ∴． 【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查． 20. 已知等差数列的前项和为， （1）求数列的通项公式与前项和； （2）设求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 参考答案： 解：（1）设数列的差为，则 所以　　　…………………6分 （2）由（1）知用反证法，假设数列中存在三项 成等比数列，则，即 所以则 与r、s、t互不相等，矛盾，所以数列中任意三项都不可能成为等比数列…12分 21. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=，∠ABC=∠APC=90°． （1）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值； （2）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，求BM的最小值． 参考答案： 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角． 【分析】（1）取AC中点O，以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PBC的法向量，利用cos=，即可求得直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（2）确定平面PAC的法向量，设M（m，n，0），求出平面PAM的法向量，利用cos==，即可求得结论． 【解答】（1）解：取AC中点O，因为AB=BC，所以OB⊥OC， ∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，∴OB⊥平面PAC ∵OP?平面PAC，∴OB⊥OP…1′ 以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系． 因为AB=BC=PA=，所以OB=OC=OP=1，从而O（0，0，0），B（1，0，0），A（0，﹣1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），…2′ ∴， 设平面PBC的法向量， 由得方程组，取…3′ ∴cos== ∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．…4′ （2）由题意平面PAC的法向量，…5′ 设平面PAM的法向量为，M（m，n，0） ∵ 由得方程组，取，…7′ ∴cos== ∵二面角M﹣PA﹣C的余弦值为，∴= ∴， ∴n+1=3m 或 n+1=﹣3m（舍去） ∴B点到AM的最小值为垂直距离d=．…10′ 22. 为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查10个家庭，得数据如下： 家庭编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi（收入）千元 0.8 1.1 1.3 1.5 1.5 1.8 2.0 2.2 2.4 2.8 yi（支出）千元 0.7 1.0 1.2 1.0 1.3 1.5 1.3 1.7 2.0 2.5           求回归直线方程.   参考答案： 解析：用计算机Excel软件作出散点图（如下图），观察呈线性正相关，并求出回归方程=0.8136x－0.0044.