河南省南阳市淅川县第五高级中学高三数学理期末试卷含解析

河南省南阳市淅川县第五高级中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限   B．第二象限    C．第三象限     D．第四象限 参考答案： D 略 2. 设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 参考答案： A ∵，∴, 又，∴ 解得，即.   3. 已知函数为奇函数，则的一个取值为（　） 　　A．0　　　　　 B．　　　　C．　　　　　 D． 参考答案： B 略 4. 已知O是正三 形内部一点，，则的面积与△的面积之比是(    ) A．               B．           C．           D． 参考答案： A 5. 设是等差数列，若,则数列{an}前8项的和为（    ） A.128               B.80        C.64        D.56 参考答案： C 6. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的 单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（    ） A．5米/秒  B．米/秒  C．7米/秒   D．米/秒 参考答案： A 7. 对于函数，下列命题中正确的是 （    ） A．           B．  C．         D． 参考答案： B 8. 从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有 A.种 B. C.种 D.种 参考答案： B 9. 若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： C 【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可． 【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1）， ∴+=1（a＞0，b＞0）， 所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4， 当且仅当=即a=b=2时取等号， ∴a+b最小值是4， 故选：C． 10. 若存在实数,使成立，则的取值范围为（     ） A.       B.      C.       D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 等比数列{42n+1}的公比为　   　． 参考答案： 16 【考点】等比数列． 【分析】利用公比的定义即可得出． 【解答】解：等比数列{42n+1}的公比q==16， 故答案为：16． 12. 对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是________。 参考答案： 原不等式可化为恒成立，因此只要求 的最小值。因为，所以，且当时取到最小值为2. 因此有，解得   13. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是             名. 参考答案： 10 14. 如图，是可导函数，直线是曲线在 处的切线，令，则               ； 参考答案： 略 15. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且.若当 时，，则__________ 参考答案： 6 【分析】 由条件可得函数是周期为6的周期函数，利用函数周期性和奇偶性进行转化求解即可. 【详解】解：由，可得， 可得为周期为6的周期函数，， 由是定义在R上的偶函数，可得， 且当 时，，可得， 故答案：6. 【点睛】本题主要考察函数的周期性和奇偶性，掌握其性质进行求解是解题的关键. 16. 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是        ； 参考答案：   45 17. 等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=　　． 参考答案： 5 【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案． 【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3． 又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2． 故5log2a3=5log22=5． 故选为：5． 【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有 ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝3n＋(－1)n?1·λ·2an (λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有bn＋1＞bn． 参考答案： 略 19. 如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足 （1）若△BCD的面积为，求CD的长； （2）若，求角A的大小． 参考答案： 解：（1）∵△BCD的面积为，， ∴ ∴BD= 在△BCD中，由余弦定理可得==； （2）∵，∴CD=AD== 在△BCD中，由正弦定理可得 ∵∠BDC=2∠A ∴ ∴cosA=，∴A=． 考点：解三角形． 专题：计算题；直线与圆． 分析：（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD； （2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论． 解答：解：（1）∵△BCD的面积为，， ∴ ∴BD= 在△BCD中，由余弦定理可得==； （2）∵，∴CD=AD== 在△BCD中，由正弦定理可得 ∵∠BDC=2∠A ∴ ∴cosA=，∴A=． 点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题． 20. 已知函数，. （1）当时，求函数f(x)的单调区间和极值； （2）若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围； （3）若，且，证明：. 参考答案： （1）， ①时，因为，所以， 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ②当时，令，解得， 当时，；当，. 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值. （2）由题意，， 即问题转化为对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，，则， 所以在区间上单调递增，故，故， 所以在区间上单调递增，函数. 要使对于恒成立，只要， 所以，即实数的取值范围为. （3）证法1：因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且. 不妨设，则， 要证，只要证，即证. 因为在区间上单调递增，所以， 又，即证， 构造函数， 即，. ， 因为，所以，，即， 所以函数在区间上单调递增，故， 而，故， 所以，即，所以成立. 证法2：要证成立，只要证：. 因为，且，所以， 即，， 即， ，同理， 从而， 要证，只要证， 令不妨设，则， 即证，即证， 即证对恒成立， 设，， 所以在单调递增，，得证，所以. 21. 已知a为实数，f（x）=（x2﹣4）（x﹣a），f′（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）若f′（﹣1）=0，求f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（I）结合已知中函数的解析式及f′（﹣1）=0，构造方程求出a值，进而分析出函数的单调性后，求出函数的极值和端点对应的函数值，比照后可得答案． （II）若f（x）在（﹣∞，﹣2]和[2，+∞）上均单调递增，则f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对（﹣∞，﹣2]恒成立且f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对[2，+∞）恒成立，解不等式组可得答案． 【解答】解：（I）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）， ∴f′（x）=2x（x﹣a）+（x2﹣4） 又∵f′（﹣1）=﹣2×（﹣1﹣a）+（1﹣4）=0， ∴a= ∴f（x）=（x2﹣4）（x﹣）， ∴f′（x）=2x（x﹣）+（x2﹣4）=3x2﹣x﹣4 令f′（x）=0， 解得x=﹣1，x=， 当x∈[﹣2，﹣1]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数 当x∈[﹣1，4/3]时，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数， 当x∈[4/3，2]时，f′（x）≤0恒成立，f（x）为减函数 又∵f（﹣2）=0，f（﹣1）=，f（）=﹣，f（2）=0 可以得到最大值为，最小值为﹣ （II）∵f（x）=（x2﹣4）（x﹣a）， ∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣4， 依题意：f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对（﹣∞，﹣2]恒成立，即 2ax≤3x2﹣4 ∴a≥ 又∵y=在（﹣∞，﹣2]上为增函数，故x=﹣2时，取最大值﹣2， 所以a≥﹣2 f′（x）=3x2﹣2ax﹣4≥0对[2，+∞）恒成立，即 2ax≤3x2﹣4 ∴a≤ 又∵y=在[2，+∞）上为增函数，故x=2时，取最小值2， 所以a≤2 故a的取值范围为[﹣2，2]． 【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度较大． 22. （12分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB.  D、E分别为棱C1C、B1C1的中点. (１)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值； (2)在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由. 参考答案： 解析：解法一：（1）分别延长AC，A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M，连结BM ∵BC⊥平面ACC-1A1   ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影 ∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角   平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点 ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，    ,  余弦值为   …………6分 （2）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面A1BD其位置为AC中点，证明如下： ∵A1B1C1—ABC为直三棱柱 ， ∴B1C1//BC ∵由（1）BC⊥平面A1C1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA ∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ，F为AC中点 ∴C1F⊥A1D   ∴EF⊥A1D同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A1BD ∵E为定点，平面A1BD为定平面,点F唯一    …………12分 解法二：（1）∵A1B1C1—ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立坐标系得 C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0） C1（0，0，2）  B1（2，0，2）  A-1（0，2，2） D（0，0，1）  E（1，0，2）                设平面A1BD的法向量为n=(1,)   平面