湖南省永州市冷水镇中学2022年高一数学理月考试卷含解析

湖南省永州市冷水镇中学2022年高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，，若则的取值范围是（     ）     A              B              C           D 参考答案： B 2. 直线与轴所围成的三角形的周长等于（    ）   A、          B、12           C、24           D、60 参考答案： A 略 3. 与为同一函数的是 （     ）    A．       B．       C． D． 参考答案： B 略 4. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是    （  ▲   ） A.      B.       C.        D. 参考答案： D 5. 若tan（α+β）=3，tan（α﹣β）=5，则tan2α=（　　） 　 A． B． ﹣ C． D． ﹣ 参考答案： B 6. （4分）下列各数中最小的数是（） A． 85（9） B． 210（6） C． 1000（4） D． 1111111（2） 参考答案： 考点： 进位制． 专题： 算法和程序框图． 分析： 将四个答案中的数都转化为十进制的数，进而可以比较其大小． 解答： 85（9）=8×9+5=77， 210（6）=2×62+1×6=78， 1000（4）=1×43=64， 1111111（2）=1×27﹣1=127， 故最小的数是1000（4） 故选：C 点评： 本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则． 7. 统计某校1000名学生的数学水平测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是（　　） 　 A． 20% B．　　 25% 　　C． 6% 　　D． 80% 参考答案： D 8. 某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的课外阅读所用的时间数据,结果可以用右图中的条形图表示,根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为(      ) A. 0.65h          B. 0.95h      C. 1.15h         D. 1.25h 参考答案： C 9. 若a=log20092010，b=log20112010，c=log2010，则（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 参考答案： A 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用对数的性质求解． 【解答】解：∵a=log20092010＞log20092009=1， b=log20112010＜log20112011=1， c=＜log20112010=b， ∴a＞b＞c． 【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意对数性质的灵活运用． 10. 函数最小正周期是 （A）　　　（B）　　　（C）  （D） 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）下面给出五个命题： ①已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD； ②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线； ③三棱锥的四个面可以都是直角三角形． ④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ?α； ⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直； 其中正确的命题编号是     （写出所有正确命题的编号） 参考答案： ①③④⑤ 考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 作图题；空间位置关系与距离． 分析： 利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对①②③④⑤五个选项逐一判断即可． 解答： ①∵AB∥CD， ∴过AB与CD作平面γ，使得γ与α与β各有一条交线BC与AD，则四边形ABCD为平行四边形，故AB=CD，①正确； ②a，b是异面直线，b，c是异面直线，如图， 显然a，c相交，不是异面直线，故②错误； ③三棱锥的四个面可以都是直角三角形，如图： PA⊥底面ABC，BC⊥AB，则BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，从而该三棱锥的四个面都是直角三角形，故③正确； ④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β， 由面面平行的性质得，PQα，故④正确； 对于⑤，三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直，正确，下面进行证明： 设三棱锥P﹣ABC中，PB⊥AC，PC⊥AB， 求证：PA⊥BC 证明：作PH⊥平面ABC，垂足H，分别连结AH、BH、CH，与AB、BC、AC分别交于F、D、E点， CH是PC在平面ABC的射影，且PC⊥AB，根据三垂线定理，CH（CF）⊥AB， 同理可得，BH（BE）⊥AC， H是两条高线的交点，故H是三角形ABC的垂心， 故AD⊥BC， AD是PA在平面ABC的射影， ∴PA⊥BC． 综上所述，①③④⑤正确． 故答案为：①③④⑤． 点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线间的位置关系、线面垂直的判定与性质、面面平行的性质及三垂线定理的应用，考查作图与推理分析的能力，属于中档题． 12. 已知函数,则不等式的解集为________________. 参考答案： ，等价于，或或，综上所述，的解集为，故答案为.   13. 一个圆锥的侧面积为6π，底面积为4π，则该圆锥的体积为________． 参考答案： 【分析】 设圆锥的底面半径为，母线长为，由圆锥的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入圆锥的体积公式求解． 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为，底面积为， 则，解得，，∴高＝＝＝， ∴＝＝． 故答案：． 【点睛】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的侧面积、底面积、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 14. 函数的单调递减区间是__________． 参考答案： 15. 若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，则tan（α+β）=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的正切函数． 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；三角函数的求值． 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，代入两角和的正切得答案． 【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根， ∴tanα+tanβ=，tanαtanβ=4， ∴tan（α+β）=． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系的应用，考查了两角和与差的正切，是基础题． 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，面积的最大值为　　． 参考答案： 9 【考点】HP：正弦定理；7F：基本不等式． 【分析】根据题意，由正弦定理分析可得三角形的面积S=absinC=ab，又由a+b=12，结合基本不等式的性质可得三角形面积的最大值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，△ABC中，，a+b=12， 则其面积S=absinC=ab≤（）2=9， 即三角形面积的最大值为9； 故答案为：9． 17. 已知函数f（x）=x3+x，且f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，） 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化进行求解即可． 【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2+1＞0，则函数f（x）为增函数， ∵f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣（x3+x）=﹣f（x）， ∴函数f（x）是奇函数， 则f（3a﹣2）+f（a﹣1）＜0等价为f（3a﹣2）＜﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 则3a﹣2＜1﹣a， 即a＜， 故答案为：（﹣∞，） 【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）判断下列函数的奇偶性： （1）     （2） 参考答案： 19. 在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点． （1）求异面直线SM与AC所成的角的大小； （2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角． 【分析】（1）取AB的中点D，连结SD，MD，说明三角形SDM是等边三角形，推出异面直线SM与AC成60°角． （2）过S作SO⊥AM，垂足为O，说明SA与平面ABC所成的角α=∠SAM，通过求解三角形即可，二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA，通过三角形求解即可． 【解答】解：（1）取AB的中点D，连结SD，MD， 显然 所以三角形SDM是等边三角形… 所以异面直线SM与AC成60°角… （2）过S作SO⊥AM，垂足为O， 因为SM⊥BC，AM⊥BC 所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO 所以SO⊥平面ABC 则SA与平面ABC所成的角α=∠SAM… 因为SA⊥SB，SA⊥SC 所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SM， … 因为SM⊥BC，AM⊥BC 则二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA…， … 20. 已知函数（）的最小正周期为． （Ⅰ）求函数的单调增区间； （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象．求在区间上零点的个数． 参考答案： Ⅰ）由周期为，得.得           4分 由正弦函数的单调增区间得 ，得 所以函数的单调增区间．      6分 （Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位， 得到的图象，所以                8分 令，得：或       10分 所以函数在每个周期上恰有两个零点, 恰为个周期，故在上有个零点     12分 略 21. （本小题满分14分） 已知集合，． (Ⅰ) 分别求：，； (Ⅱ) 已知集合，若，求实数的取值的集合．w. 参考答案： 解：（Ⅰ）          ……4分            ………8分 （Ⅱ）              ……………………12分                           ……………14分 （少“=”号扣1分）   略 22.  如图，在长方体中，已知，，，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）试在面上确定一点G，使平面． 参考答案： 解：（1）以为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有，，，，， 于是，． 设与所成角为，则． ∴异面直线与所成角的余弦值为． （2）因点在平面上，故可设． ，，． 由得解得 故当点在面上，且到，距离均为时，平面