广东省湛江市雷州东里第二中学高二数学理模拟试题含解析

广东省湛江市雷州东里第二中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则函数的最小值为（     ） A    B          C                D  非上述情况 参考答案： B 略 2. 已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为 （A） （B） （C） （D） 参考答案： A 略 3. 等差数列的前n项和满足，则其公差等于（   ） A．2      B．4       C．±2    D．±4 参考答案： A 4. 今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是(     ) A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 100 参考答案： C 【考点】进位制． 【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图． 【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案． 【解答】解：111÷2=55…1 55÷2=27…1 27÷2=13…1 13÷2=6…1 6÷2=3…0 3÷2=1…1 1÷2=0…1 故111（10）=1101111（2） 故选：C． 【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键． 5. 直线的倾斜角是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： B 解：直线为， 倾斜角，， 故选． 6. 直线过点（-3,4），且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线方程为 (  )    A．                 B.   C.    D. 参考答案： C 7. 5个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为(   ) A.72　　    B.48　　　    C.24　　        D.60 参考答案： C 略 8. 已知空间向量＝(－1,2,4)，＝(x，－1，－2)，并且∥，则x的值为（   ） A．10　　　　     B．                C. －10         D．－ 参考答案： B 略 9. 已知M(-2,0),N(2,0)，|PM|-|PN|=4，则动点P的轨迹是（    ） A. 一条射线              B. 双曲线         C. 双曲线左支    D. 双曲线右支 参考答案： A 10. 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A、                B、               C、             D、 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图所示，A，B，C是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BF⊥AC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是            ． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BF⊥AC且|BF|=|CF|， 求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案． 【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中， OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2|OA|=2|OF|=2c， 设A（m，n），则m2+n2=c2， 又=1，解得m=，n=， 即有A（，），B（﹣，﹣）， 又F（c，0）， 由于BF⊥AC且|BF|=|CF|， 可设C（x，y），即有=﹣1， 又（c+）2+（）2=（x﹣c）2+y2， 可得x=，y=﹣， 将C（，﹣）代入双曲线方程，化简可得（b2﹣a2）=a3， 由b2=c2﹣a2，e=，得（2e2﹣1）（e2﹣2）2=1， 可得e=． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，属于难题． 12. 在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为____. 参考答案：     13. 已知,则     . 参考答案： 考点：两角差的正切公式及运用． 14. 已知命题:“?x∈[1,2],使x2+2x-a≥0”为真命题,则a的取值范围是　　　　.  参考答案： a≤8 略 15. 命题“存在x∈R,2x≤0”的否定是__________; 参考答案： 略 16. 已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的取值范围为           参考答案： 大于等于4 略 17. 若x＞0，y＞0，且log2x+log2y=2，则的最小值为　   　． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 确定函数在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 参考答案： 解析：由，得 令，解不等式得或 因此，当时，函数是增函数 令，解不等式得 因此，当时，函数是减函数 19. (本小题满分13分)某厂用甲、乙两种产品，已知生产1吨A产品，1吨B产品分别需要的甲乙原料数、可获得的利润及该厂现有原料数如表： 产品 所需原料 A产品（t） B产品（t） 现有原料(t) 甲（t） 2 1 14 乙（t） 1 3 18 利润（万元） 5 3   (1)在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润最大？ (2)如果1吨B产品的利润增加到20万元，原来的最优解为何改变？ (3)如果1吨B产品的利润减少1万元，原来的最优解为何改变？ (4)1吨B产品的利润在什么范围，原最优解才不会改变？ 参考答案： 解析：（1）设生产A产品x(t),B产品y(t)，利润z 0≤2x+y≤14 0≤x+3y≤18 x≥0y≥0 z=5x+3y   可知当过P点（）时利润最大： Zmax=(万元)------------------（3分） （2）若1tB产品利润增加到25万元 0≤2x+y≤14 0≤x+3y≤18 x≥0 y≥0 z=5x+20y得到y=,此时过Q(0,6)时利润 最大Zmax=120 (万元)----------------（3分） (3) z=5x+2y得到y=当直线y=过点R（7，0）时 z最大，Zmax=35 (万元)--------------------（3分） （4）设当B产品的利润为K时原最优解不变 z=5x+ky得到y= 由图知＜k＜15即B产品的利润在（，15）最优解不变。---（4分）   20. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间[0,1]上的最小值. 参考答案： 解：（1） 令，得， ，随的变化情况如下： 0 ∴的单调递减区间是，的单调递增区间； （2）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴在区间上的最小值为； 当，即时， 由（1）知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴在区间上的最小值为 当，即时，函数在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为； 综上所述 21. 已知x与y之间的数据如下表： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）完成下面的残差表： x 2 3 4 5 6           并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）. 附：，，，. 参考答案： 解：（1）由已知图表可得，，，， 则，， 故. （2）∵，∴，，，，，则残差表如下表所示， ∵， ∴， ∴该线性回归方程的回归效果良好.   22. 过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由题意列关于a，c的方程组，求解方程组的a，c的值，由b2=a2﹣c2求得b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）假设满足条件的圆存在，设出圆的方程，分直线PQ的斜率存在和不存在讨论，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求出P，Q两点横纵坐标的积，由⊥得其数量积等于0，代入坐标的乘积得到k和t的关系，再由圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径，然后验证直线斜率不存在时成立．从而得到满足条件的圆存在． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得：， ∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1． 故椭圆Γ的方程为； （Ⅱ）假设满足条件的圆存在，其方程为x2+y2=r2（0＜r＜1）． 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t， 由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0． 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，① ∵， ∴x1x2+y1y2=0， 又y1=kx1+t，y2=kx2+t， ∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0， 即（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．     ② 将①代入②，得 ， 即t2=（1+k2）． ∵直线PQ与圆x2+y2=r2相切， ∴r==∈（0，1）， ∴存在圆x2+y2=满足条件． 当直线PQ的斜率不存在时，易得=， 代入椭圆Γ的方程，得=，满足． 综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用把直线和圆锥曲线联立，利用根与系数的关系求解，考查了计算能力，属高考试卷中的压轴题．