江西省赣州市横江中学高一数学理下学期期末试卷含解析

江西省赣州市横江中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 2log6+3log6=（　　） A．0 B．1 C．6 D．log6 参考答案： B 【分析】直接利用对数的运算性质化简求值． 【解答】解：2log6+3log6 = =log62+log63 =log66=1． 故选：B． 2. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（   ） :(A)          (B)          (C)           (D) 参考答案： C 3. 如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么akg的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间t）等于（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为t， ，两边取对数， ，即， ∴ 故选C.   4. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） （A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）无法确定 参考答案： B 5. 设集合，，则（    ） A．  B．  C．     D． 参考答案： A 6. 已知x，y满足约束条件则的最小值为 A.            B.1          C.            D.2 参考答案： A 作出可行域知在点处取得最小值 7. 已知（     ） A．                             B．                     C．                           D． 参考答案： C 8. 不共面的四点可以确定平面的个数为                                                               (    ) A． 2个                    B． 3个　　           C． 4个　　　        D．无法确定 参考答案： C 9. 中，，，的对边分别为，重心为点，若，则等于（    ）     A.        B.        C.       D. 参考答案： A 10. 已知x，y满足约束条件，若的最小值为6，则的值为(   ) A．2         B．4       C． 2和4         D．[2,4]中的任意值 参考答案： B x,y满足约束条件的可行域如图：z=x+λy的最小值为6,可知目标函数恒过(6,0)点，由可行域可知目标函数经过A时，目标函数取得最小值。 由解得A(2,1)，可得：2+λ=6，解得λ=4. 本题选择B选项.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）的图象关于点（，0）对称，且在区间（0，）上单调递增，则ω的最大值为　   　． 参考答案： 6 【考点】正弦函数的单调性． 【分析】根据题意得出，求出ω的最大值即可． 【解答】解：函数f（x）=sinωx的图象关于点（，0）对称，且在（0，）上单调递增， ∴， 解得； ω的最大值为6． 故答案为：6． 12. 在△ABC中，AB = 4，AC = 3，，D是AB的中点，则______. 参考答案： 6 13. 在等差数列中，若，，则的值为__________。 参考答案： -3  略 14. 函数的单调递增区间为　　． 参考答案： （﹣∞，2） 【考点】复合函数的单调性． 【分析】令t=2﹣x＞0，求得函数的定义域为（﹣∞，2），则f（x）=g（t）=，本题即求函数t的减区间，利用一次函数的性质得出结论． 【解答】解：令t=2﹣x＞0，求得x＜2，故函数的定义域为（﹣∞，2），则f（x）=g（t）=， 故本题即求函数t的减区间，而一次函数t在其定义域（﹣∞，2）内单调递减， 故答案为：（﹣∞，2）． 15. 过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　　． 参考答案： 2 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出． 【解答】解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2， ∵=＜2，∴（3，1）在圆内， ∵圆心到此点的距离d=，r=2， ∴最短的弦长为2=2． 故答案为：2 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键． 16. 已知函数，若，则         ． 参考答案： -2 略 17. 设，，，则的大小关系是        。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数. （1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由； 第一组：； 第二组：； （2）设，生成函数.若不等式 在上有解，求实数的取值范围； （3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为. 若对于任意正实数且.试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由.   参考答案： 解：（1）① 所以是的生成函数 ② 设，即， 则，该方程组无解.所以不是的生成函数.   （2）  若不等式在上有解， ， 即 设，则，， ，故，.  （3）由题意，得，则 ，解得，所以  假设存在最大的常数，使恒成立. 于是设 =    令，则，即  设在上单调递减， ，故存在最大的常数  19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证： (1)直线EF∥平面PCD；                        (2)平面BEF⊥平面PAD. 参考答案：                                                  证明：(1)因为E、F分别是AP、AD的中点，∴EF∥PD， 又∵P，D∈面PCD，E，F?面PCD， ∴直线EF∥平面PCD. (2)∵AB＝AD，∠BAD＝60°，F是AD的中点， ∴BF⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴BF⊥面PAD，∴平面BEF⊥平面PAD. 略 20. 过点Q 作圆C：x2＋y2＝r2()的切线，切点为D，且QD＝4． (1)求r的值； (2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y 轴于点B，设，求的最小值(O为坐标原点). 参考答案： 解：(1) 圆C：x2＋y2＝r2()的圆心为O(0，0)，于是 由题设知，是以D为直角顶点的直角三角形， 故有       …………4分 (2) 解法一： 设直线的方程为 即 则         直线与圆C相切          当且仅当时取到“=”号 取得最小值为6。 解法二： 设P(x0，y0)()，则， 且直线l的方程为.                       ……6分 令y＝0，得x＝，即， 令x＝0，得y＝，即. 于是.     ……8分 因为, 且，所以  ……9分 所以  …11分 当且仅当时取“＝”号. 故当时，取得最小值6.                 …12分 略 21. （本小题满分14分） 如图1，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示． (1)证明：AD⊥平面PBC； (2)求三棱锥D－ABC的体积； (3)在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长． 参考答案：   (2) ………8分 (3)取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ＝2CO，连接PQ，OD，点Q即为所求． 因为O为CQ的中点，D为PC的中点，PQ//OD, PQ平面ABD, OD平面ABD PQ//平面ABD 连接AQ,BQ, 四边形ACBQ的对角线互相平分，且AC=BC,ACBC,四边形ACBQ为正方形， CQ即为∠ACB的平分线又AQ=4，PA平面ABC 在直角三角形PAQ中，PQ=…………………14分 略 22. （12分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0） （1）求实数a的值； （2）设g（x）=2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域； （3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值． 参考答案： 考点： 两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）把点（，0）代入解析式，求出a的值； （2）先利用两角差的正弦公式化简f（x），代入g（x）利用二倍角公式化简，由x的范围求出的范围，利用余弦函数的性质求出g（x）的值域； （3）代入解析式化简g（）=﹣，由α的范围和平方关系求出的值，利用两角和的正弦公式求出sinα的值，利用诱导公式化简cos（α+）后即可求值． 解答： （1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）， 所以sin+acos=0，解得a=﹣； （2）由（1）可得，f（x）=sinx﹣cosx=， 所以g（x）=2﹣2=﹣2 ==， 由x∈（，）得，∈（，）， 则，所以， 则函数g（x）的值域：=sin（）cos+cos（）sin =﹣×（）+=， 则cos（α+）=sinα=． 点评： 本题考查三角恒等变换的公式，平方关系、三角函数值的符号的应用，以及余弦函数的性质，注意角之间的关系和角的范围，属于中档题．