浙江省金华市江南中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某程序框图如图所示，运行该程序，则输出的S的值为（ ）
A．3 B．11 C．43 D．171
参考答案：
C
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的A，S的值，当A=7时，不满足条件A≤5，退出循环，输出S的值为43．
【解答】解：模拟执行程序，可得
A=1，S=1
满足条件A≤5，S=1+21=3，A=3
满足条件A≤5，S=3+23=11，A=5
满足条件A≤5，S=11+25=43，A=7
不满足条件A≤5，退出循环，输出S的值为43．
故选：C．
2. 已知等比数列前n项和为，若,,则
A. B. C. D.
参考答案：
A
3. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，则( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
4. 关于函数，下列叙述有误的是( ）
A. 其图象关于直线对称
B. 其图象关于点对称
C. 其值域是[－1,3]
D. 其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到
参考答案：
B
【分析】
利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出。
【详解】当时，，为函数最小值，故A正确；
当时，，，所以函数图象关于直线对称，不关于点对称，故B错误；函数的值域为[－1,3]，显然C正确；图象上所有点的横坐标变为原来的得到，故D正确。综上，故选B。
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键。
5. 将函数的图象向右移动个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
A
考点：三角函数求角
【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好
6. 函数的定义域是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
参考答案：
C
7. 如图，棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1，点A在平面内，平面ABCD与平面所成的二面角为30°，则顶点C1到平面的距离的最大值是 （ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
直线CA在平面上移动， CA与平面所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大。
8. 设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2 C．4 D．4
参考答案：
B
9. ”a<0”是”函数在区间上单调递增”的
A.必要不充分条件 B.充要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件
参考答案：
D
略
10. 若抛物线的准线与双曲线的一条渐近线交点的纵坐标
为，则这个双曲线的离心率为
参考答案：
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2006)等于=
参考答案：
1
略
12. 已知集合，则___________．
参考答案：
{－1,0,1}
集合 ，
则
故答案为：.
13. 设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率等于 ．
参考答案：
略
14. 是展开式中的常数项为 .
参考答案：
28
，
由，得，
所以的常数项为.
15. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数 ．
参考答案：
考点：抛物线双曲线的几何性质及有关概念的综合运用．
16. 若的展开式中常数项为672，则a=___________
参考答案：
2
17. 已知，则=__________
参考答案：
0
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F、G两点，若CF∥AB.
证明：（1）CD=BC；
（2）△BCD∽△GDB.
参考答案：
（1），
（2）
19. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)＝.
(1)当a＝5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．
参考答案：
20. 设函数f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）．
（I）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=ax﹣ex，求证：在x＞0时，f（x）＞g（x）
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】（I）通过f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，可得f′（e）=，解得，再将切点（e，﹣1）代入切线方程x﹣ey+b=0，可得b=﹣2e；
（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），结合导数分①a≤0、②a＞0两种情况讨论即可；
（III）通过变形，只需证明g（x）=ex﹣lnx﹣2＞0即可，
由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，根据函数的单调性及零点判定定理即得结论．
【解答】解：（I）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx（a∈R）
∴f′（x）== （x＞0），
∵f（x）在点（e，f（e））处的切线为x﹣ey+b=0，
即f（x）在点（e，f（e））的切线的斜率为，
∴f′（e）==，∴，∴切点为（e，﹣1），
将切点代入切线方程x﹣ey+b=0，得b=﹣2e，
所以，b=﹣2e；
（II）由（I）知：f′（x）=（x＞0），下面对a的正负情况进行讨论：
①当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，
当x变化时，f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：
0
（a，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
f（x）
↓
↑
由此表可知：f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，+∞）上单调递增；
综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），f（x）的单调递增区间为（，+∞）；
（III）∵f（x）=ax﹣2﹣lnx，g（x）=ax﹣ex，
∴要证：当x＞0时，f（x）＞g（x），即证：ex﹣lnx﹣2＞0，
令g（x）=ex﹣lnx﹣2 （x＞0），则只需证：g（x）＞0，
由于g′（x）=，根据指数函数及幂函数的性质可知，
g′（x）=在（0，+∞）上是增函数，
∵g（1）=e﹣1＞0， =，∴g（1），
∴g（x）在内存在唯一的零点，也即g（x）在（0，+∞）上有唯一零点，
设g（x）的零点为t，则g（t）=，即 （），
由g（x）的单调性知：当x∈（0，t）时，g（x）＜g（t）=0，g（x）为减函数；
当x∈（t，+∞）时，g（x）＞g（t）=0，g（x）为增函数，
所以当x＞0时，，
又，故等号不成立，
∴g（x）＞0，即当x＞0时，f（x）＞g（x）．
【点评】本题考查求函数解析式，函数的单调性，零点的存在性定理，注意解题方法的积累，属于难题．
21. （本小题满分14分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = asinC－ccosA.
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.
参考答案：
（1）由c＝asinC－ccosA及正弦定理得
sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
由于sinC≠0，所以sin＝.
又0
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