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浙江省温州市台北立建国中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为虚数单位,,若为纯虚数,则复数的模等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 双曲线的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A,B两点,若,,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.3
参考答案:
C
3. 设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B=( )
A.(2,3] B.(﹣∞,1]∪(2,+∞) C.[1,2) D.(﹣∞,0)∪[1,+∞)
参考答案:
D
【考点】1H:交、并、补集的混合运算.
【分析】由全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},先求出?UA={x|x<0,或x>2},再求(?UA)∪B.
【解答】解:∵全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},
B={y|1≤y≤3},
∴?UA={x|x<0,或x>2},
∴(?UA)∪B={x|x<0,或x≥1}.
故选D.
4. 已知,实数a、b、c满足<0,且0<a<b<c,若实数是函数的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是 ( D )
A.<a B.>b C.<c D.>c
参考答案:
【知识点】函数零点的判定定理.B9
D 解析:当时,当时<0,且,所以不可能成立.
【思路点拨】确定函数为减函数,进而可得f(a)、f(b)、f(c)中一项为负的、两项为正的;或者三项都是负的,分类讨论分别求得可能成立选项,从而得到答案.
5. 函数的零点所在的大致区间是
A.(0,1 ) B.(1 ,2) C.(2,e) D.(3,4)
参考答案:
B
6. 在等比数列{an}中,Sn为前n项和,已知a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比q为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
参考答案:
B
略
7. 已知d为常数,p:对于任意n∈N*,an+2﹣an+1=d;q:数列 {an}是公差为d的等差数列,则¬p是¬q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】简易逻辑.
【分析】先根据命题的否定,得到¬p和¬q,再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可.
【解答】解:p:对于任意n∈N*,an+2﹣an+1=d;q:数列 {an}是公差为d的等差数列,
则¬p:?n∈N*,an+2﹣an+1≠d;¬q:数列 {an}不是公差为d的等差数列,
由¬p?¬q,即an+2﹣an+1不是常数,则数列 {an}就不是等差数列,
若数列 {an}不是公差为d的等差数列,则不存在n∈N*,使得an+2﹣an+1≠d,
即前者可以推出后者,前者是后者的充分条件,
即后者可以推不出前者,
故选:A.
【点评】本题考查等差数列的定义,是以条件问题为载体的,这种问题注意要从两个方面入手,看是不是都能够成立.
8. 下列命题中正确命题的个数是
(1)命题“若,则x = 1”的逆否命题为“若x ≠ 1则”;
(2)设回归直线方程=1+2x中,x平均增加1个单位时,平均增加2个单位 ;
(3)若为假命题,则均为假命题 ;
(4)对命题:使得,则均有;
(5)设随机变量服从正态分布N(0,1),若,则
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
9. 设向量,,给出下列四个结论:
①;②;③ 与垂直;④,其中真命题的序号是 ( )
A. ① B. ③ C. ①④ D. ②③
参考答案:
B
10. 已知集合A={1,2,3},B={x|x2﹣x﹣2=0,x∈R},则A∩B为( )
A.? B.{1} C.{2} D.{1,2}
参考答案:
C
考点:交集及其运算.
专题:计算题.
分析:先将B化简,再求A∩B.
解答: 解:B={x|x2﹣x﹣2=0,x∈R}={2,﹣1}
∵A={1,2,3},∴A∩B={2}
故选C
点评:本题考查了集合的含义、表示方法,集合的交、并、补集的混合运算,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数对任意的恒成立,则
.
参考答案:
略
12. 在直角坐标系中,定义为两点之间的“折线距离”;则圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为
参考答案:
13. (理科)以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,已知直线的极坐标方程为,圆C的参数方程为.直线被圆截得的弦长
参考答案:
16
14. 非零向量与,对于任意的的最小值的几何意义
为 .
参考答案:
点A到直线的距离
设向量与的夹角为,
,
所以,所以当时,有最小值,此时,所以的最小值的几何意义为点A到直线的距离。
15. 等比数列{}的公比, 已知=1,,则{}的前4项和
= 。
参考答案:
16. 函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为 .
参考答案:
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】利用定积分表示封闭图形的面积,然后计算即可.
【解答】解:∵,
∴函数的图象与x轴所围成的封闭图形面积为+=+=.
故答案为:.
【点评】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积;关键是利用定积分表示出封闭图形的面积,然后计算.
17.
若函数f(x)=在(0,3)上单调递增,则a∈ 。
参考答案:
答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某公司共有职工8000名,从中随机抽取了100名,调查上、下班乘车所用时间,得下表:
所用时间
(分钟)
人数
25
50
15
5
5
公司规定,按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴,补贴金额(元)与乘车时间(分钟)的关系是,其中表示不超过的最大整数.以样本频率为概率:
(1)求公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率;Ks5u
(2)估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元).
参考答案:
略
19. 设函数
(1)当的最小值;
(2)若对任意的实数恒成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)当时, --3分
------5分
(2)对任意的实数恒成立对任意的实数恒成立
-------6分
当时,上式成立; ----7分
当时,
当且仅当即时上式取等号,此时成立. -----9分
综上,实数的取值范围为 ----10分
20. 已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.
(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程;
(Ⅱ)已知椭圆C2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的?倍(?>1),过点C(?1,0)的直线l与椭圆C2交于A,B两个不同的点,若,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.
参考答案:
(Ⅰ)所给直线方程变形为, …......……………1分
可知直线所过定点为. ...............………2分
∴椭圆焦点在y轴, 且c=,依题意可知b=2,∴a2=c2+b2=9. ……………3分
椭圆C1的方程标准为. ………………4分
(Ⅱ)依题意,设椭圆C2的方程为,A(x1,y1), B(x2,y2),………………6分
∵?>1,∴点C(?1, 0)在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不同的交点.
当直线l垂直于x轴时,(不是零向量),不合条件;
故设直线l为y=k(x+1) (A,B,O三点不共线,故k≠0), ……………..…7分
由得.
由韦达定理得. ………………8分
∵,而点C(?1, 0),
∴(?1?x1, ?y1)=2(x2+1, y2),∴y1= ?2y2, ………………..…9分
即y1+y2= ?y2 故. ………………10分
∴△OAB的面积为
. .......................……11分
上式取等号的条件是,即k=±时,△OAB的面积取得最大值.
所以直线的方程为或. ………………12分
21. 在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF=1,
(1)求证:BD⊥平面AED;
(2)求B到平面FDC的距离.
参考答案:
(1)证明:在等腰梯形中,,
,即
(2)令点到平面的距离为
则
,解得
略
22. 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asinB=﹣bsin(A+).
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sinC的值.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理化简已知可得tanA=﹣,结合范围A∈(0,π),即可计算求解A的值.
(2)由(1)可求sinA=,利用三角形面积公式可求b=,利用余弦定理可求a=,由正弦定理即可计算求解.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)∵asinB=﹣bsin(A+).
∴由正弦定理可得:sinAsinB=﹣sinBsin(A+).即:sinA=﹣sin(A+).
可得:sinA=﹣sinA﹣cosA,化简可得:tanA=﹣,
∵A∈(0,π),
∴A=…6分
(2)∵A=,
∴sinA=,
∵由S=c2=bcsinA=bc,可得:b=,
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=7c2,可得:a=,
由正弦定理可得:sinC=…12分
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