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山西省晋中市洪水中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的展开式中的常数项为 ( )
A.-1320 B.1320 C.-220 D.220
参考答案:
C
略
2. 已知抛物线y2=ax(a≠0)的准线经过点(1,﹣1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(﹣1,0) B.(1,0) C.(0,﹣1) D.(0,1)
参考答案:
A
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】根据题意,由抛物线的方程可以求出其准线方程,则有﹣=1,解可得a的值,即可得抛物线的方程,结合抛物线的焦点坐标计算可得答案.
【解答】解:根据题意,抛物线的方程为y2=ax,其焦点在x轴上,
则其准线方程为:x=﹣,
若其准线经过点(1,﹣1),则其准线方程为x=1,
即有﹣=1
则a=﹣4,抛物线的方程为y2=﹣4x,
则该抛物线焦点坐标为(﹣1,0);
故选:A.
3. 已知为等差数列,,,则等于( )
A. B. 1 C. 3 D. 7
参考答案:
B
略
4. 已知在平面直角坐标系中,点P是直线l:l=﹣上一动点,定点F(,0),点Q为PF的中点,动点M满足?=0, =λ(λ∈R).过点M作圆(x﹣3)2+y2=2的切线,切点分别为S,T,则?的最小值是( )
A. B. C. D.﹣
参考答案:
A
【考点】圆的切线方程;平面向量数量积的运算.
【分析】由题意结合平面向量的数量积运算求得M在抛物线y2=2x上,则问题转化为过抛物线上一点,作圆(x﹣3)2+y2=2的切线,切点分别为S,T,求?的最小值,然后求出满足条件的点M,代入平面向量数量积求解.
【解答】解:如图,设P(,m),
∵F(,0),点Q为PF的中点,∴Q(0,),
再设M(x0,y0),
∴,,
由=λ,得,即,
∴M(),
则,.
再由?=0,得,即,
∴M(),则M在抛物线y2=2x上,
设以(3,0)为圆心,以r为半径的圆为(x﹣3)2+y2=r2,
联立,得x2﹣4x+9﹣r2=0.
由△=(﹣4)2﹣4(9﹣r2)=0,解得r2=5.
∴r=.
则抛物线y2=2x上的点M到圆心距离的最小值为,切线长的最小值为,
且sin,cos∠SMT=1﹣2sin2∠SMC=1﹣.
∴?的最小值为=.
故选:A.
【点评】本题考查了圆的切线方程,考查了平面向量的数量积运算,考查了数学转化思想方法,综合性较强,是难题.
5. 已知奇函数在上单调递减,且,则不等式>0的解集是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是( )
A.已知圆的半径求圆的面积
B.随意抽4张扑克牌算到二十四点的可能性
C.已知坐标平面内两点求直线方程
D.加减乘除法运算法则
参考答案:
B
无
7. 已知,则的最小值是
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 数列的通项公式可以是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为,它的对角线的长分别是和,则这个棱柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D 解析:设底面边长是,底面的两条对角线分别为,而
而即
10. 由 “正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧
面三角形 ( )
A.内任一点 B.某高线上的点 C.中心 D.外的某点
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞),且当x<0时,f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0。若g(-2)=0,则不等式f(x)g(x)>0的解集是 ▲ 。
参考答案:
略
12. 设x,y满足约束条件 则z=x-2y的取值范围为 ;
参考答案:
[-3,3]
13. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点.
设直线OC1与平面CB1D1成的角为,则▲.
参考答案:
14. 过点、的直线的斜率为______________.
参考答案:
2
略
15. 不等式的解集为__________.。
参考答案:
略
16. 将数列按“第组有个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第10组中的第一个数是_____________.
参考答案:
略
17. 根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果i为________.
参考答案:
7
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,已知,求边的长及的面积.
参考答案:
解:在中,由余弦定理得:
∴
由三角形的面积公式得:
略
19. 在如图所示的五面体中,面为直角梯形, ,平面平面, , 是边长为2的正三角形.
(1)证明: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案:
(1)取的中点,依题意易知,
平面平面ABCD,所以, …………………1分
分别以直线为轴和轴, 点为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,
依题意有: A (1,0,0),, , ,E(0,0,)
,,………………….3分
设平面ACF的法向量为
,,得到………………….4分
,所以平面…………………5分
(2)设平面的一个法向量,由,得,…………………6分
由,得,………………….7分
令,可得.………………….8分
又平面的一个法向量,………………….10分
所以.………………….11分
所以二面角的余弦值为 .………………….12分
20. 已知函数.
(I)判断函数的单调性;
(Ⅱ)若+的图像总在直线的上方,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若函数与的图像有公共点,且在公共点处的切线相同,求实数的值.
参考答案:
解:(Ⅰ)可得.
当时,,为增函数;当时,,为减函数。…5分
(Ⅱ)依题意, 转化为不等式对于恒成立
令, 则
当时,因为,是上的增函数,
当时,,是上的减函数,
所以 的最小值是,
从而的取值范围是 ……………10分
(Ⅲ)转化为,与在公共点处的切线相同
由题意知
∴ 解得:,或(舍去),代人第一式,即有 ……………16分
21.
参考答案:
略
22. .已知复数.
(1)若z是纯虚数,求a;
(2)若,求.
参考答案:
(1)若是纯虚数,
则,所以.
(2)因为,
所以,所以或.
当时,,.
当时,,.
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