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河南省漯河市临颍县第二高级中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 已知函数f(x)=,若关于x的方程f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣,0) B.(0,) C.(﹣,) D.(﹣,0)或(0,)
参考答案:
D
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.
【分析】由题意,关于x的方程f(x)=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题,从而作图解答.
【解答】解:直线y=x﹣a与函数f(x)=ex﹣1的图象
在x≥0处有一个切点,
切点坐标为(0,0);此时a=0;
直线y=|x﹣a|与函数y=﹣x2﹣2x的图象在
x<0处有两个切点,
切点坐标分别是(﹣,)和(﹣,);
此时相应的a=,a=﹣;
观察图象可知,方程f(x)=|x﹣a|有
三个不同的实根时,
实数a的取值范围是
(﹣,0)或(0,);
故选:D.
【点评】本题考查了函数的图象与方程的根的关系,属于中档题.
3. 已知为虚数单位,则复数=
A. B. C. D.
参考答案:
A
分母实数化,即分子与分母同乘以分母的其轭复数:。
4. 下列命题中真命题的个数是( )
①若p∧q是假命题,则p,q都是假命题;
②命题“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R,x03﹣x02+1>0”;
③若p:x≤1,q:<1,则¬p是q的充分不必要条件.
④设随机变量X服从正态分布N(3,7),若P(X>C+1)=P(X<C﹣1),则C=3.
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】对于①,p∧q是假命题?p,q中至少有一个为假命题,可判断①错误;
对于②,写出命题“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定:“?x0∈R,x03﹣x02+1>0”,可判断②正确;
对于③,由p:x≤1,q:<1知,¬p?q,反之,不可,可判断③正确;
对于④,依题意,由P(X>C+1)=P(X<C﹣1)知随机变量X的正态曲线关于直线x=C对称,由X~N(3,7)知故其图象关于直线x=3对称,可判断④正确.
【解答】解:对于①,若p∧q是假命题,则p,q中至少有一个为假命题,并非都是假命题,故①错误;
对于②,命题“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R,x03﹣x02+1>0”,故②正确;
对于③,∵p:x≤1,q:<1,则x>1?<1,反之不成立,即¬p是q的充分不必要条件,故③正确;
对于④,∵随机变量X服从正态分布N(3,7),故其图象关于直线x=3对称,
又P(X>C+1)=P(X<C﹣1),
∴随机变量X的正态曲线关于直线x=C对称,
∴C=3,故④正确.
综上,命题中真命题的个数是3个,
故选:C.
5. 已知正三棱锥S-ABC的底面是面积为的正三角形,高为,则其内切球的表面积为( )
A 、 B 、 C 、 D、
参考答案:
D
6. 设全集,集合,,则为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 已知集合,,则
A.{1,4} B.{-1,,1} C.{1,2} D.
参考答案:
C
略
8. 设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则?x∈R,f(﹣x)≠f(x).命题q:f(x)=x|x|在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( )
A.p为假 B.¬q为真 C.p∨q为真 D.p∧q为假
参考答案:
C
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假即可.
【解答】解:函数f(x)不是偶函数,仍然可?x,使f(﹣x)=f(x),故p为假;
f(x)=x|x|=在R上都是增函数,q为假;
故 p∨q为假,
故选:C.
【点评】本题考查了复合命题的真假,判断函数的单调性.是一道基础题.
9. 直角坐标系xoy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点A,B分别在曲线 (为参数)和曲线上,则的最小值为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
10. tan705°=
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
15
12. 已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,,,则△ABC周长的最小值为_______.
参考答案:
【分析】
利用余弦定理和正弦定理将等式化简得到,再利用面积公式得到
最后利用均值不等式得到答案.
【详解】
周长
当时等号成立
故答案为
【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式,均值不等式,综合性强,意在考查学生的综合能力与计算能力.
13. 已知椭圆C:,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则 .
参考答案:
14. 命题“对任何的否定是_______________
参考答案:
存在;
略
15. 已△知△ABC三边长分别为a,b,c且a2+b2﹣c2=ab,则∠C=
参考答案:
60°
【考点】余弦定理.
【分析】利用a2+b2﹣c2=ab,代入到余弦定理中求得cosC的值,进而求得C
【解答】解:∵a2+b2﹣c2=ab,
∴cosC==
∴C=60°
故答案为60°
16. 在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是_____.
参考答案:
答案:4
17. 平面向量满足,且,则向量的夹角为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<6﹣|x﹣2|;
(2)已知m+n=4(m,n>0),若|x﹣a|﹣f(x)≤+(a>0)恒成立,求函数a的取值范围.
参考答案:
【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(1)分类讨论,即可解不等式f(x)<6﹣|x﹣2|;
(2)=.令g(x)=|x﹣a|﹣f(x),要使不等式恒成立,只需,即可求函数a的取值范围.
【解答】解:(1)不等式f(x)<6﹣|x﹣2|,即|3x+2|+|x﹣2|<6.
当时,即﹣3x﹣2﹣x+2<6,得;
当时,即3x+2﹣x+2<6,得;
当x>2时,即3x+2+x﹣2<6,无解.
综上,原不等式的解集为.
(2)=.
令g(x)=|x﹣a|﹣f(x)=|x﹣a|﹣|3x+2|=
∴当时,.
∴要使不等式恒成立,只需,即,
故所求实数a的取值范围是.
19. 已知数列{an}满足: ++…+=(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anan+1,Sn为数列{bn}的前n项和,对于任意的正整数n,Sn>2λ﹣恒成立,求Sn及实数λ的取值范围.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列.
【分析】(1)利用递推关系即可得出an.
(2)利用“裂项求和”可得Sn,再利用数列的单调性与不等式的性质即可得出.
【解答】解:(1)∵++…+=(n∈N*),
∴当n=1时, =,解得a1=2.
当n≥2时, ++…+=(n∈N*).
∴=﹣,
解得an=,当n=1时也成立.
(2)bn=anan+1==2.
∴数列{bn}的前n项和Sn=++…+=2,
∵对于任意的正整数n,Sn>2λ﹣恒成立,
∴λ<﹣.
∴λ<.
∴实数λ的取值范围是.
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”、数列的单调性与不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. (本小题满分12分)已知向量=(2,2),向量与向量的夹角为,且·=-2,
(1)求向量;
(2)若,其中A、C是△ABC的内角,若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列,试求|+|的取值范围.
参考答案:
解:(1)设=(x,y),则·=..2分
∴解得……………………4分
(2).
∴……………………7分
∴
=1+…10分
∴ ∴……………………12分
21. (本题满分12分)
如图,在底面是正方形的四棱锥中,
面,交于点,是中点,
为上一动点.
(1)求证:;
(2)确定点在线段上的位置,使//平面,并说明理由.
(3)如果PA=AB=2,求三棱锥B-CDF的体积
参考答案:
⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明,本题中,由于直线在平面内,所以考虑证明平面.⑵注意平面与平面相交于,而直线在平面内,故只需即可,而这又只需为中点即可.(3)求三棱锥B-CDF的体积中转化为求三棱锥F-BCD的体积,这样底面面积与高都很易求得.
试题解析:⑴∵面,四边形是正方形,
其对角线、交于点,∴,.2分∴平面,
∵平面,∴ 4分
⑵当为中点,即时,/平面, 5分
理由如下:
连结,由为中点,为中点,知 6分
而平面,平面,
故//平面. 8分
(3)三棱锥B-CDF的体积为.12分
22. 已知复数满足(为虚数单位),复数的虚部为,是实数,求。
参考答案:
解:
设,则,
∵ ,∴
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