浙江省丽水市水东中学高三数学理上学期期末试题含解析

浙江省丽水市水东中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知,则的大小顺序是（    ） A．   B．   C．     D． 参考答案： A 略 2. 定义在R上的奇函数满足，若，则的值是（  ） A.0      B.1     C.505       D.2020 参考答案： A 3. 已知直线 (k＞0)与抛物线相交于A、B两点，为的焦点，若，则k的值为 A．        B．        C．        D． 参考答案： C 4. 已知f（x）=m?2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则m+n的取值范围为（　　） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5] 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】由{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}可得f（0）=0，从而求得m=0；从而化简f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0，从而讨论求得． 【解答】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， ∴f（x1）=f（f（x1））=0， ∴f（0）=0， 即f（0）=m=0， 故m=0； 故f（x）=x2+nx， f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0， 当n=0时，成立； 当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根， 故△=n2﹣4n＜0， 故0＜n＜4； 综上所述，0≤n+m＜4； 故选B． 5. 已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1          (B) 3           (C) 4          (D) 8 参考答案： C 因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。 6. 已知集合M={﹣1，0，1，2}，N={y|y=2x+1，x∈M}，则M∩N=（　　） A．{﹣1，1} B．{1，2} C．{﹣1，1，3，5} D．{﹣1，0，1，2} 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】求出集合N，再根据交集的定义写出M∩N即可． 【解答】解：集合M={﹣1，0，1，2}， N={y|y=2x+1，x∈M}={﹣1，1，3，5}， 所以M∩N={﹣1，1}． 故选：A． 7. 的展开式中的系数为(   ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得展开式中的系数． 【详解】二项式的展开式的通项公式为 Tr+1?（﹣2）r?， 令3，求得r＝1，可得展开式中的系数为﹣12， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求,再将的值代回通项求解,注意的取值范围()①第m项：此时,直接代入通项；②常数项：即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；③有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解. 8. “”是“函数在区间[2,+∞)上为增函数”的（   ） A．充分不必要条件    B．必要不充分条件  C．充要条件   D．既不充分也不必要 参考答案： A 9. 如右图，该程序框图运行后输出的结果是       （    ）        A．7              B．15     C．31     D．63 参考答案： D 略 10. 一个平面图形的面积为，其直观图的面积为，则（    ）   A． B．   C．  D．1 参考答案： A 直观图在底不变的情况下，高变为原来的倍。设平面图形的高为，直观图的高为，则有，即，所以，选A. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列说法中正确的有________ ①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。   参考答案： ③④ 12. 已知，，则的值=         。 参考答案：           13. 抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于两点，若，则       . 参考答案： 可根据题干条件画出草图，得到角MFO为60度角，根据三角函数值得到 解得。 14. 已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为_________． 参考答案： 或；   15. 已知点落在角的终边上，且，则的值为_____________； 参考答案： 16. 已知数列为等差数列，若，，则公差    ． 参考答案： 4 17. 对于实数a和b，定义运算“﹡”： ，设f（x）=（2x-1）﹡（x-1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_________________。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）若曲线在和处的切线互相平行，求的值； （2）求的单调区间； 参考答案： ①当时，，， 在区间上，；在区间上， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是．  ---------8分 ②当时，， 在区间和上，；在区间上， 故的单调递增区间是和， 单调递减区间是．         --------10分     19.     如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，CA平分∠BAE，CF⊥AB，F是垂足，CD⊥AE，交AE延长线于D．     （I）求证：DC是⊙O的切线；     （Ⅱ）求证：AF．FB=DE．DA．   参考答案： （Ⅰ）连结,, ,为圆的切线　　　　　　……5分 （Ⅱ）与全等，, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……10分   略 20. 设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。 （1）       求实数的取值范围； （2）       求圆的方程； 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。 参考答案： 【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。 （1） （1）       设所求圆的方程为。 令得 又时，从而。 所以圆的方程为。 （3）整理为，过曲线 与的交点，即过定点与。 21. （本小题满分12分） 如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。 （1）       求抛物线E的方程； （2）       设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 参考答案： 22. 己知函数f（x）=aex+x2，g（x）=sin+bx，直线l与曲线y=f（x）切于点（0，f（0））且与曲线y=g（x）切于点（1，g（1））． （I）求a，b的值和直线l的方程． （Ⅱ）证明：f（x）＞g（x） 参考答案： 解：（Ⅰ）f′（x）=aex+2x，g′（x）=cos+b， 即有f（0）=a，f′（0）=a，g（1）=1+b，g′（1）=b， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y=ax+a， 曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线为y=b（x﹣1）+1+b， 即y=bx+1． 依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=ex+x2，g（x）=sin+x． 设F（x）=f（x）﹣（x+1）=ex+x2﹣x﹣1，则F′（x）=ex+2x﹣1， 当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜F′（0）=0； 当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞F′（0）=0． F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 故F（x）≥F（0）=0． 设G（x）=x+1﹣g（x）=1﹣sin， 则G（x）≥0，当且仅当x=4k+1（k∈Z）时等号成立． 由上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且两个等号不同时成立， 因此f（x）＞g（x）． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得切线的斜率和切线方程，再由切线唯一，即可求得a，b和切线方程； （Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣（x+1）=ex+x2﹣x﹣1，运用导数，求得最小值大于0，再设G（x）=x+1﹣g（x），由正弦函数的值域可得G（x）≥0，即可得到f（x）＞g（x），即可得证． 解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=aex+2x，g′（x）=cos+b， 即有f（0）=a，f′（0）=a，g（1）=1+b，g′（1）=b， 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为y=ax+a， 曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线为y=b（x﹣1）+1+b， 即y=bx+1． 依题意，有a=b=1，直线l方程为y=x+1． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f（x）=ex+x2，g（x）=sin+x． 设F（x）=f（x）﹣（x+1）=ex+x2﹣x﹣1，则F′（x）=ex+2x﹣1， 当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜F′（0）=0； 当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞F′（0）=0． F（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增， 故F（x）≥F（0）=0． 设G（x）=x+1﹣g（x）=1﹣sin， 则G（x）≥0，当且仅当x=4k+1（k∈Z）时等号成立． 由上可知，f（x）≥x+1≥g（x），且两个等号不同时成立， 因此f（x）＞g（x）． 点评： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查函数的单调性的运用，三角函数的图象和性质，属于中档题和易错题．