河南省洛阳市偃师诸葛第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河南省洛阳市偃师诸葛第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若双曲线的离心率是，则实数（　　） A．     B．     C．     D． 参考答案： B 略 2. 已知，则（    ） A．         B．       C．        D． 参考答案： B 由题意，根据微积分定理，得 ，两边平方，得 ，所以 ，故正确答案为B.   3. 函数向左平移个单位后是奇函数，则函数在 上的最小值为 （A）       （B）         （C）          （D） 参考答案： 4. 已知t为常数，函数有两个极值点a、b (a＜b)，则（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 设为对称轴为，开口向上的抛物线 则在上有两个相异实根a、， ∴ ∴， ∴在上为增函数． 5. 定义：，如，则=（　　） A．0 B． C．3 D．6 参考答案： A 【考点】67：定积分． 【分析】根据新定义和定积分计算即可． 【解答】解：由定义=2xdx﹣1×3=x2|﹣3=4﹣1﹣3=0， 故选：A 6. 已知集合，则集合（） A.B.  C.  D. 参考答案： 【知识点】集合的运算A1 C 因为，所以，则选C. 【思路点拨】遇到不等式的解构成的集合，一般先对不等式求解，再进行解答. 7. 已知集合，函数的定义域为集合B，则A∩B=（　　） A.[－2,1] B. [－2,1) C. [1,3] D.(1,3] 参考答案： B 【分析】 求出集合，再利用交集运算得解 【详解】由得：， 所以集合，又 所以. 故选B 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 8. 在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（　　） A．3 B．2 C． D．1 参考答案： B 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离 【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离， 则由圆的性质可得，， 即． 故选B 9. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是  (     ) A．；   B．；  C．；  D．. 参考答案： C 10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为(     ) A．16π B．π C．4π D．2π 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题． 【分析】由三棱锥的三视图我们可以得三棱锥的外接球半径为1，球心为俯视图斜边上的中点，则易求它的外接球表面积． 【解答】解：由三棱锥的三视图我们易得俯视图斜边上的中点到三棱锥各顶点的距离均为1 所以三棱锥的外接球球心为俯视图斜边上的中点，半径为1 故它的外接球表面积为4π 故选C 【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则当时，函数的最小值为     . 参考答案： -4 12. 己知，，且，则   ▲   ． 参考答案： 因为，所以，即，所以。 13. 已知函数y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0），f'（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x＞0时，xf'（x）＜2恒成立，则不等式f（x）+2≥2lnx解集为　　． 参考答案： （0，e] 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）+2﹣2lnx，x＞0，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数单调性将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：由f（x）+2≥2lnx得f（x）+2﹣2lnx≥0， 设g（x）=f（x）+2﹣2lnx，x＞0， 则g′（x）=f′（x）﹣=， ∵x＞0时，xf'（x）＜2恒成立， ∴此时g′（x）=＜0． 即此时函数g（x）为减函数， ∵y=f（x）（x∈R）图象过点（e，0）， ∴f（e）=0， 则g（e）=f（e）+2﹣2lne=2﹣2=0， 则f（x）+2﹣2lnx≥0，等价为g（x）≥0， 即g（x）≥g（e）， ∵函数g（x）在（0，+∞）为减函数， ∴0＜x≤e， 即不等式f（x）+2≥2lnx解集为（0，e]， 故答案为：（0，e] 14. 函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=　　． 参考答案： π 【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法． 【专题】计算题；三角函数的求值． 【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期． 【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x， ∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π． 故答案为：π． 【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题． 15. 二项式的展开式中常数项为160，则a的值为       。 参考答案： 2 略 16. （5分）（2015?陕西一模），f2（x）=sinxsin（π+x），若设f（x）=f1（x）﹣f2（x），则f（x）的单调递增区间是　　． 参考答案： [kπ，kπ+] 【考点】： 运用诱导公式化简求值；正弦函数的单调性． 【专题】： 三角函数的图像与性质． 【分析】： 化简函数的解析式为f（x）=﹣cos2x，本题即求函数y=cos2x的减区间．令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得x的范围，可得函数y=cos2x的减区间． 解：f（x）=f1（x）﹣f2（x）=sin（+x）cosx﹣sinxsin（π+x）=﹣cos2x+sin2x=﹣cos2x， 故本题即求函数y=cos2x的减区间． 令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得kπ≤x≤kπ+， 可得函数y=cos2x的减区间为 ， 故答案为：． 【点评】： 本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题． 17. 等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=　　． 参考答案： 64 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】根据等比数列的通项公式分别化简a1+a2=3，a2+a3=6后得到首项和公比的两个关系式，分别记作①和②，然后②÷①即可求出公比，把公比代入①即可求出首项，根据求出的首项和公比，利用等比数列的通项公式求出a7的值即可． 【解答】解：由a1+a2=a1（1+q）=3①，a2+a3=a1q（1+q）=6②， ②÷①得：q=2，把q=2代入①得到a1=1， 则a7=26=64． 故答案为：64 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 在中， （1）求角B        （2）若，求的值   参考答案： （1）；（2）   知识点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数 解析：（1）       ……………2分             ……………4分                  ……………6分 (2)              ……………8分                                                                                        ……………10分                                       ……………12分 【思路点拨】（1）原式由正弦定理可化简为从而由余弦定理可求得，从而可求角B；（2）若，可先求，的值，从而可求sinC的值．   19. 如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为上的动点． （1）证明：PA1⊥平面PBB1； （2）设半圆柱和多面体ABB1A1C的体积分别为V1，V2，且AC=BC，求V1：V2． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】综合题；空间位置关系与距离． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用体积公式，求出半圆柱和多面体ABB1A1C的体积，即可求V1：V2． 【解答】（1）证明：在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA1． 因为A1B1是底面圆的直径，所以PA1⊥PB1，因为PB1∩BB1=B1，PB1?平面PBB1， BB1?平面PBB1，所以PA1⊥平面PBB1． （2）解：因为AC⊥BC，AC=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，且AB2=BC2+AC2=2AC2． 所以半圆柱的体积V1=（AB）2π?AA1=AC2?AA1． 多面体ABB1A1C是以矩形ABB1A1为底面，以C为顶点的四棱锥，其高为点C到底面ABB1A1的距离，设这个高为h，在Rt△ABC中，AB?h=AC?BC，所以h=， 所以V2=?AA1?AB?=?AA1?AC?BC=AA1?AC2． 所以=． 【点评】本题考查线面垂直的判定，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20. 已知函数. （1）求函数f(x)在的单调递减区间； （2）在锐角△ABC中，内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知，，，求△ABC的面积. 参考答案： （1）和；（2）. 试题分析：（1）结合诱导公式及二倍角公式化简函数得，求减区间，只需即可，结合求交集即可； （2）由，结合锐角，，可得，由正弦定理将转化为，进而可求面积. 试题解析： （1）由已知得 . ，又 函数在的单调递减区间为和. （2）由（1）知 锐角， 又 ，即. 又   . 21. 设函数y=loga（）（a＞0，且a≠1）的定义域为[s，t），值域为（logaa（t﹣1），logaa（s﹣1）]，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的图象与性质． 【分析】分析出函数的单调性，进而判断出底数的取值范围，进而根据函数的定义域为值域构造出方程组，将其转化为整式方程组后，构造函数，利用二次函数的图象和性质可得答案． 【解答】解：∵s＜t ∴at﹣a＞as﹣a 又∵logaa（t﹣1）＜logaa（s﹣1）， ∴0＜a＜1 又∵u==1﹣在[s，t）上单调递增 ∴y=loga在[s，t）上单调递减 ∴=ax﹣a有两个大于3的相异的根 即ax2+（2a﹣1）x+3﹣3a=0有两个大于3的相异的根 令h（x）=ax2+（2a﹣1）x+3﹣3a， 则 解得0＜a＜ 22. （本小题满分12分) 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，所得数据如下   患病 未患病 总计 没服