广东省梅州市横陂中学高一数学理联考试题含解析

广东省梅州市横陂中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可. 【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，， 设向量， 则， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标形式，属于基础题. 2. 函数的图像大致形状是（   ）   参考答案： B 略 3. 函数的定义域为（） A．(1,2)        B． (1,2]      C．(1,+∞)       D． [2,+∞) 参考答案： B 要使函数f(x)有意义，则 ，则 ，故函数的定义域是(1,2]，故选B.   4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（   ） A.         B.       C.   D. 参考答案： B 5. 函数 对任意自然数，满足（    ） (A)11      (B)12              (C)13                 (D)14 参考答案： A 6. 下列函数在（0，+∞）上是减函数的是（　　） A．y=|x| B．y= C．y=x3 D．y=2x 参考答案： B 【考点】函数单调性的判断与证明． 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据一次函数、反比例函数、指数函数和y=x3的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A．x＞0时，y=|x|=x为增函数，∴该选项错误； B.在（0，+∞）上是减函数，∴该选项正确； C．y=x3在（0，+∞）上是增函数，∴该选项错误； D．指数函数y=2x在（0，+∞）上是增函数，∴该选项错误． 故选：B． 【点评】考查一次函数、反比例函数及指数函数的单调性，清楚函数y=x3的图象及其单调性． 7. 化简． 参考答案： 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】利用诱导公式即可化简求值得解． 【解答】解：原式=． 8. 若则（   ） A.      B. 1     C.      D. 参考答案： B 9. 设A={x|x﹣1＜0}，B={x|log2x＜0}，则A∩B等于（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜1} C．{x|x＜0} D．? 参考答案： A 【考点】对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】解对数不等式求出集合B，再根据两个集合的交集的定义求出A∩B． 【解答】解：∵A={x|x﹣1＜0}={x|x＜1}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}， ∴A∩B={x|0＜x＜1}， 故选A． 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，两个集合的交集的定义，属于中档题． 10. 数列{an}中，若，，则（    ） A. 29 B. 2563 C. 2569 D. 2557 参考答案： D 【分析】 利用递推关系，构造等比数列，进而求得的表达式，即可求出，也就可以得到的值。 【详解】数列中，若，， 可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5， 所以，． 【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法。利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在数列{an}中，，，若，则{bn}的前n项和取得最大值时n的值为__________． 参考答案： 10 【分析】 解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论； 解法二：化简得，令，求得，进而求得 ，再由，解得或，即可得到结论． 【详解】解法一：因为① 所以②， ①②，得即，所以数列为等差数列． 在①中，取，得即，又，则， 所以．因此， 所以，， ， 所以， 又，所以时，取得最大值． 解法二：由，得， 令，则，则， 即， 代入得， 取，得，解得，又，则，故 所以，于是． 由，得，解得或， 又因为，， 所以时，取得最大值． 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题. 12. 将函数f(x)=sin(wx+j)(w>0)的图象向左平移个单位，若所得的图象与原图象重合，则w的最小值是_________． 参考答案： 4 13. 若幂函数的图象过点，则           . 参考答案： 14. 在边长为2的等边△ABC中，已知 ＝          参考答案： -2 15. 若，则=　　． 参考答案： 【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用． 【分析】由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． 【解答】解：若=，∴tanα=，则====， 故答案为：． 16. 设函数f（x）（x∈N）表示x除以2的余数，函数g（x）（x∈N）表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f（x）≠g（x）；②f（2x）=0；③g（2x）=2g（x）；④f（x）+f（x+3）=1．其中正确的式子编号是　     　．（写出所有符合要求的式子编号） 参考答案： ②④ 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】根据新定义，采用特值法依次证明即可得到结论． 【解答】解：根据新定义：当x是6的倍数时，可知f（x）=g（x）=0，所以①不正确； 当x∈N时，2x一定是偶数，所以f（2x）=0正确；所以②正确； 当x=2时，g（2x）=g（4）=1，而2g（x）=2g（2）=4，所以g（2x）≠2g（x），故③错误； 当x∈N时，x和x+3中必有一个为奇数、一个为偶数， 所以f（x）和f（x+3）中有一个为0、一个为1， 所以f（x）+f（x+3）=1正确． 故答案为：②④ 17. 设为方程的根（），则_______ 参考答案： 解析：由题意，.由此可得 　，，以及　. . 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.   在平面直角坐标系中,，点P的坐标为（0，2）。 (1),若实数满足?，则的值为多少？ (2)过点且斜率为的直线与圆交于不同的两点. 问:是否存在常数,如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.     参考答案： 22、(1)圆的标准方程,∴圆心…………(得1分) ∴,………………………………………(得1分) ∵,∴…………………………………(得1分)   19. 已知函数，其中． （1）当时，求f(x)的最小值； （2）设函数f(x)恰有两个零点，且，求a的取值范围． 参考答案： (1) －14； (2) 【分析】 （1）当时，利用指数函数和二次函数的图象与性质，得到函数的单调性，即可求得函数的最小值； （2）分段讨论讨论函数在相应的区间内的根的个数，函数在时，至多有一个零点，函数在时，可能仅有一个零点，可能有两个零点，分别求出的取值范围，可得解． 【详解】（1）当时，函数， 当时，，由指数函数的性质，可得函数在上为增函数，且； 当时，，由二次函数的性质，可得函数在上为减函数，在上为增函数， 又由函数， 当时，函数取得最小值为； 故当时，最小值为． （2）因为函数恰有两个零点，所以 （ⅰ）当时，函数有一个零点，令得， 因为时，，所以时，函数有一个零点，设零点为且， 此时需函数在时也恰有一个零点， 令，即，得，令， 设，， 因为，所以，，， 当时，，所以，即，所以在上单调递增； 当时，，所以，即，所以在上单调递减； 而当时，，又时，，所以要使在时恰有一个零点，则需， 要使函数恰有两个零点，且，设在时的零点为， 则需，而当时，， 所以当时，函数恰有两个零点，并且满足； （ⅱ）若当时，函数没有零点，函数在恰有两个零点 ，且满足，也符合题意， 而由（ⅰ）可得，要使当时，函数没有零点，则 ， 要使函数在恰有两个零点 ，则，但不能满足， 所以没有的范围满足当时，函数没有零点， 函数在恰有两个零点 ，且满足， 综上可得：实数的取值范围为． 故得解. 【点睛】本题主要考查了指数函数与二次函数的图象与性质的应用，以及函数与方程，函数的零点问题的综合应用，属于难度题，关键在于分析分段函数在相应的区间内的单调性，以及其图像趋势，可运用数形结合方便求解，注意在讨论二次函数的根的情况时的定义域对其的影响． 20. （本小题满分12分）若集合， (1)若,求实数的值； (2)若，求实数a组成的集合C. 参考答案： （1）……………6分（2）………12分（若漏了空集扣2分） 21. （12分）在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an. (1)求Sn的表达式； (2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 参考答案： (1),(2) 又是增函数,,故结论得证. 略 22. （本小题满分10分） 已知集合，，. (1) 求，；   (2) 若，求的取值范围. 参考答案： 解：（1）      ……………………2分 ，    ……………………4分 （2）由（1）知， ①当时，满足，此时， 得；     ……………………6分 ②当时，要，则，解得； …………9分 由（1）（2）得  ……………………10分   略