山东省烟台市莱山区第一中学2022年高三数学理测试题含解析

山东省烟台市莱山区第一中学2022年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 全集U=R，集合，则[UA= （A） （B） （C） （D） 参考答案： B ，所以，选B. 2. 现有200根相同的圆钢（即圆柱形钢筋），把它们堆放成一个三角形垛，使剩余的圆钢最少，那么剩余的圆钢有（　　） A．20根 B．15根 C．10根 D．9根 参考答案： C 3. 函数在定义域内零点可能落在下列哪个区间内   A．(0，1)    B．(2，3)     C．(3，4)    D．(4，5) 参考答案： C 4. 如图，与圆相切于点，直线交圆于两点，弦垂直            于． 则下面结论中，错误的结论是（   ）　 A．∽     B．    C． D． 参考答案： 略 5. 执行如图2所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的值为                             参考答案： 选 6. 函数的定义域为                    参考答案： D 7. 已知函数，满足则x的取值范围是（    ）                                                            A ．{x | < x < 10 }        B ．{x | < x < 10  且x≠3 }        C．   {x | x < 10 }             D ．{x | 3 < x < 10 } 参考答案： B 略 8. 已知集合A＝{1，2，4}，则集合B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A}中元素的个数为     A．3            B．6              C．8               D．9 参考答案： D 略 9. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的值是 A．               B． C．              D． 参考答案： C 10. 已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是(     )    A. B. C. D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的反函数为，则                . 参考答案： 答案：   12. 已知向量，, 若// , 则实数等于_________. 参考答案： 略 13. 函数的单调增区间为      参考答案： 【知识点】利用导数研究函数的单调性B12 【答案解析】（，）解析：解：∵y′=﹣cosx， 令y′＞0，即cosx＜，解得：＜x＜，故答案为：（，）． 【思路点拨】先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可 14. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是____. 参考答案： 11 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【详解】由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最小， 此时z最大，由，得A（2，﹣3）．代入目标函数，得z＝2﹣3×（﹣3）＝11 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题． 15. 正三角形ABC的内切圆为圆O，则△ABC内的一点落在圆O外部的概率为         . 参考答案： 略 16. （5分）设y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于函数y=f（x）的判断： ①y=f（x）是周期函数； ②y=f（x）的图象关于直线x=1对称； ③y=f（x）在[0，1]上是增函数； ④． 其中正确判断的序号是　　．（把你认为正确判断的序号都填上） 参考答案： ①②④ 【考点】： 函数的周期性；函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性． 【专题】： 综合题；压轴题；数形结合． 【分析】： 由题意y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x+1）=﹣f（x），可以知道该函数的周期为2，在利用f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上为增函数，可以由题意画出一个草图即可判断． 解：因为f（x+1）=﹣f（x）  所以f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），由函数的周期定义可知该函数的周期为2，由于f（x）为定义在R上的偶函数且在[﹣1，0]上为单调递增函数，所以由题意可以画出一下的函数草图为： 由图及题中条件可以得到： ①正确，周期T=2； ②由图可以知道该函数关于x=1对称，所以②正确； ③有已知条件 y=f（x）是定义在R上的偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，所以y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数，故③错； ④对于f（x+1）=﹣f（x），令x=﹣，得到：f（）=﹣f（﹣）?（因为函数f（x）为偶函数）∴故④正确． 【点评】： 此题考查了函数的周期性，对称性及有抽象函数式子赋值的方法，还考查了学生对于抽象问题的具体化及数形结合的思想． 17. 关于q 的函数的最大值记为，则的解析式为          . 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【试题分析】 ， 因为，所以当时，； 当，，所以， 故答案为. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 两县城A和B相距30km，现计划在两县城外位于线段AB上选择一点C建造一个两县城的公共垃圾处理厂，已知垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的的距离关系最大，其他因素影响较小暂时不考虑，垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和. 记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数2.7；垃圾处理厂对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；且当垃圾处理厂C与城A距离为10km时对城A和城B的总影响度为0.029. (1) 将y表示成x的函数； (2) 讨论⑴中函数的单调性，并判断在线段AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）；（2）函数在内单调递减，在内单调递增；在线段AB上存在点符合题意，该点与城的距离. 【分析】 （1）先求出垃圾处理厂对城的影响度比例系数，然后根据题意求与的函数关系； （2）应用导数求解. 【详解】⑴据题意，，， 且建在处的垃圾处理厂对城的影响度为， 对城的影响度为， 因此总影响度．         又因为当垃圾处理厂与城距离为时 对城和城的总影响度为0.029. 所以． 所以． (2)　因． 由解得． 由解得 由解得 所以，随的变化情况如下表： 0 ↘ 极小值 ↗   由表可知，函数在内单调递减，在内单调递增， 当时，，                          故在线段AB上存在点，使得建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小， 该点与城的距离． 【点睛】本题考查函数在实际生活中应用问题.涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题，关键点在于把实际问题转化为数学关系式.   19. （原创）集合，集合，且，则实数的取值范围是                参考答案： 略 20. 已知函数（其中为常量，且）的图象经过点A（1，6）、B（3，24）。    （1）试确定的解析式；    （2）若不等式时恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 21. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：对任意的都有，又. (I)求数列{ an }的通项公式； （II）令，求 参考答案： （Ⅰ）由① ，得（，）②. ①- ②，得，即（，）. ………………3分           由，，得， 所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列， 因此，. ……………… 6分 （Ⅱ）由，得，          ……………… 7分 所以，               ………………9分 所以 .                           ……………… 12分 22. 如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC为等边三角形，AC⊥A1B． （1）求证：AB=BC； （2）若∠ABC=90°，求A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值． 参考答案： 【考点】MI：直线与平面所成的角． 【分析】（1）取AC的中点O，连接OA1，OB，推导出AC⊥OA1，AC⊥A1B，从而AC⊥平面OA1B，进而AC⊥OB，由点O为AC的中点，能证明AB=BC． （2）以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB， ∵点O为等边△A1AC中边AC的中点， ∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1， ∴AC⊥平面OA1B，又OB?平面OA1B， ∴AC⊥OB，∵点O为AC的中点，∴AB=BC． （2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， ∵A1O⊥AC，侧面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC 以线段OB，OC，OA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz， 设AC=2，则A（0，﹣1，0），，B（1，0，0），C（0，1，0）， ∴，，， 设平面BCC1B1的一个法向量， 则有，即，令， 则，z0=﹣1，∴， 设A1B与平面BCC1B1所成角为θ， 则． ∴A1B与平面BCC1B1所成角的正弦值为．