天津南孙庄中学高二数学理模拟试题含解析

天津南孙庄中学高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（　　） A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，+∞） 参考答案： C 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，利用对任意x∈R，都有f′（x）＜2x成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式． 【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0， ∴函数g（x）在R上单调递减， 而f（﹣2）=2021， ∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0， ∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2）， ∴x＜﹣2， 即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2）， 故选：C． 2. 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（　　） Ａ　3x-y-8=0                        B 3x+y+4=0 C   3x-y+6=0                         D 3x+y+2=0 参考答案： B 3. 直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点 (　　) A.(,3) B. (,3)       C. (,－3) D. (,－3) 参考答案： D 4. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子上，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，……，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是  （   ） A.编号1             B.编号2              C.编号3          D.编号4 参考答案： A 略 5. 设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 略 6. 下表是关于x与y的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点（  ） x 0 1 2 3 y 1 2.9 5.1 7 A. （2，2） B. （1.5，2） C. （1.5，4） D. （1，2） 参考答案： C 【分析】 根据线性回归方程经过样本中心点得解. 【详解】由题得， 所以样本中心点为. 所以线性回归方程必过点. 故选：C 【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7. 三个数、、的大小顺序是（     ） A.          B.     C.            D. 参考答案： B 略 8. 在同一坐标系中，将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】伸缩变换． 【分析】将曲线3sin2x变为曲线y′=sinx′，横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍，从而得出答案． 【解答】解：将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′， 横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍， 将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是：， 故选：B． 　 9. 已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，从而可得a=2，b=，从而写出椭圆的标准方程． 【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上， 且c=1，e==， 故a=2，b=， 则椭圆的标准方程为， 故选A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程的求法，属于基础题． 10. 已知集合，，若，则实数m的取值范围为（   ） A．(－∞,－3)           B．(－∞,－3]       C．[－3,+ ∞)      D． (－3,+ ∞) 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)满足，则f(x)的极值点为____ __． 参考答案： 0 12. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2＋|PB|2取最大值时，点P的坐标是________． 参考答案： () 13. 一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内可以任意转动，则正方体棱长最大为            . 参考答案： 14. 已知角的终边经过点P（－1，），则cos＝＿＿＿＿＿ 参考答案： 15. 抛物线y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为　  　． 参考答案： 9 【考点】定积分． 【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论 【解答】解：联立方程组，解得或， ∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9， 故答案为：9 　 16. 将二进制数化为十进制数，结果为__________ 参考答案： 45 17. 在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点在第______象限． 参考答案： 二 【分析】 求解出复数，写出对应点的坐标，根据坐标得出象限. 【详解】解：， 故复数对应点的坐标为， 故复数对应点在第二象限. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的几何意义，运算正确与否是解题正确与否的关键，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{},为其前 项的和，． (I)求数列{}的通项公式； (II)若，求数列{}的前项的和． 参考答案： 解：（Ⅰ）依题意……………………2分解得                 .………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知  ，             ，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，……………7分    数列的前项的和.………………10分 略 19. 已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）记cn=an?bn，求数列{cn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式． 【分析】（Ⅰ）由已知可得，且a5＞a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列{an}通项，数列{bn}中，利用递推公式 （Ⅱ）用错位相减求数列{cn}的前n和 【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{an}的公差d＞0， ∴a3=5，a5=9，公差． ∴an=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．（3分） 又当n=1时，有 ∴ 当，∴． ∴数列{bn}是首项，公比等比数列， ∴．   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，则（1） ∴=（2）（10分） （1）﹣（2）得： = 化简得：（12分） 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，求数列{an?bn}的前n和可采用错位相减法． 20. (本小题满分12分) 等差数列的前项和记为，已知 (1)求通项；     （2）若求。 参考答案： 1）    ，即 （2） 解得 略 21. 某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）求回归直线方程； （2）据此估计广告费用为10时销售收入y的值． 附：线性回归方程中系数计算公式，，其中，表示样本均值． 参考答案： 考点： 回归分析的初步应用．. 专题： 应用题；概率与统计． 分析： （1）根据所给的数据计算出x，y的平均数和回归直线的斜率，即可写出回归直线方程， （2）由（1）中的回归直线方程，把所给的自变量x代入方程，得到y的一个估计值，得到结果． 解答： 解：（1），（1分） ，（2分） ，（3分） ，（4分） ，（6分） ，（8分） 所以回归直线方程为．（9分） （2）x=10时，预报y的值为y=6.5×10+17.5=82.5．（12分） 点评： 本题考查回归分析的初步应用，写方程要用的斜率和x，y的平均数都要经过计算算出，这样的题有一定的运算量，是一个基础题． 22. （本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程 （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 参考答案： (1) 椭圆的标准方程为,双曲线的标准方程为 (3) （Ⅱ）设点P（，），则=，=，所以= ，又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以 =1。 （Ⅲ）假设存在常数，使得恒成立，则由（Ⅱ）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由方程组消y得：，设，， 则由韦达定理得： 所以|AB|==，同理可得 |CD|===， 又因为，所以有=+ =，所以存在常数，使得恒成立。 略