江西省新余市芦溪外国语学校2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

江西省新余市芦溪外国语学校2022年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 直线在y轴上的截距是(　　) A．|b|  B．－b2    C．b2  D．±b 参考答案： B 略 2. 已知一个回归方程为，则=  （   ） A.9        B.45         C.58.5 D.1.5 参考答案： C 略 3. 椭圆上的点到直线的最大距离是（　　） A．3 B． C． D． 参考答案： D 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式． 【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案． 【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ） 则点P到直线的距离 d=； 故选D． 4. 若＋(1＋i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则a+b＝    （    ）  A.2            B.－2         C.2＋2         D.2－2 参考答案： C 5. 已知满足则的取值范围是（    ） A．     B．    C．      D．   参考答案： B 6. 曲线与直线围成的平面图形的面积为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果. 【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下： 由解得：或， 所以曲线与直线围成的平面图形的面积为 . 故选D 【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型. 7. 在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于(　　) A．12　　　　　　B.        C．28　　　　　　D．6 参考答案： D 略 8. 曲线在点处的切线方程为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A ，，则切线方程为，即. 9. 已知命题p：恒成立，命题q：为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 先分别求得为真命题时，的取值范围，然后求交集，由此得出正确选项. 【详解】对于命题，，故.对于命题，.由于p且q为真命题，故都为真命题，所以，故选D. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数的单调性，考查含有简单逻辑联结词命题真假性等知识，属于基础题. 10. 已知等比数列的公比，其前项和，则等于 ． ． ． ． 参考答案： ． ．故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算：=___ __. 参考答案： 12. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是______． 参考答案： 解：男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B， 则： ， ， 由条件概率公式可得： . 13. 实数x，y适合方程4 x 2 – 2 x y 2 + 2 x y – y 3 = 0，则点( x，y )在平面直角坐标系内的轨迹是             。 参考答案： ( 2 x + y ) ( 2 x – y 2 ) 14. 设函数,定义，如下：当时，； 当且时，．观察: 根据以上事实，由归纳推理可得： 当时，                . 参考答案： 15. 已知集合，，若，则实数的取值范围为        ． 参考答案： 略 16. 已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=2px（p＞0）有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为M，若|MF|=5，则点M的横坐标为　 　． 参考答案： 3 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线和考查抛物线的性质，求出p，再根据抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，得到x0+=5，解得即可． 【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0）．双曲线x2﹣=1的焦点为（2，0）或（﹣2，0）， ∴=2， ∵两曲线的一个交点为M，设点M的横坐标x0，|MF|=5， ∴x0+=5， ∴x0=5﹣=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查双曲线和考查抛物线的焦点，以及抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离相等，考查学生的计算能力，比较基础． 17. 已知a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0，则+的取值范围是     　． 参考答案： [4，+∞） 利用基本不等式的性质即可得出． 解：a＞0，b＞0，0＜c＜2，ac2+b﹣c=0， ∴1=ac+≥2，当ac=时，等号成立， ∴ab≤， ∵+≥2≥2=4，当a=b时等号成立，此时c=1∈（0，2）， 综上所述，+的取值范围是[4，+∞）， 故答案为：[4，+∞） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05．求： （1）高一参赛学生的成绩的众数、中位数． （2）高一参赛学生的平均成绩． 参考答案： 【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图． 【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数， 利用中位数的两边频率相等，求出中位数； （2）利用各小组底边的中点值乘以对应频率，再求和，得出数据的平均值． 【解答】解：（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65， 又∵第一个小矩形的面积为0.3， ∴设第二个小矩形底边的一部分长为x， 则x×0.04=0.2，得x=5， ∴中位数为60+5=65； （2）依题意，平均成绩为： 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67， ∴平均成绩约为67． 19. 设命题，命题,；如果“”为真，“”为假，求a的取值范围. 参考答案： 试题分析：首先确定为真时实数的取值范围,再根据为真，为假可知一真一假,分两种情况:真假时,假真,即可得的取值范围. 试题解析：解： 对任意的恒成立， 令，∴ ∴ ，∴或 命题为真，为假，则中一真一假 或 ∴的取值范围为或. 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：的左顶点A作直线l，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P，Q． (1)若，求直线l的斜率； (2)过原点O作直线l的平行线，与椭圆C交于点M，N，求证：为定值． 参考答案： （1）（2）见解析. 试题分析：（1）设直线,代入椭圆方程得由，有，可得出直线的斜率； （2）设直线l斜率为k，联立方程组分别求出AP，AQ，MN，代入计算化简即可得出结论． 试题解析：（1）依题意，椭圆的左顶点，              设直线的斜率为 ，点的横坐标为， 则直线的方程为．①     又椭圆：，      ② 由①②得，，   则，从而． 因为，所以． 所以，解得（负值已舍）． （2）设点的横坐标为．结合（1）知，直线的方程为．③ 由②③得，．   从而 ，即证．   21. 已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，试求：   （I）直线AB的方程；             （II）椭圆C2的方程. 参考答案： （I）由e=，得=，a2=2c2,b2=c2。                        ...........2分   设椭圆方程为+=1。又设A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1)，得x1+x2=4,y1+y2=2。   又+=1，+=1，两式相减，得 +=0。   ∴                                         ...........5分     ∴直线AB的方程为y－1= －(x－2)，即y= －x+3。         ...........6分 （II）将y= －x+3代入+=1，得3x2－12x+18－2b2=0 又直线AB与椭圆C2相交，∴Δ=24b2－72>0。              ...........8分 由|AB|=|x1－x2|==, 得·=。 解得  b2=8，                                          ...........11分 故所求椭圆方程为+=1                            ...........12分 略 22. 点P在椭圆+=1上，求点P到直线3x﹣4y=24的最大距离和最小距离． 参考答案： 【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系． 【分析】可设P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式，运用两角和的余弦公式，化简结合余弦函数的值域即可得到最值． 【解答】解：由于点P在椭圆上，可设P（4cosθ，3sinθ）， 则，即， 所以当时，； 当时，．