湖南省岳阳市湘滨中学高二数学理月考试卷含解析

湖南省岳阳市湘滨中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题： ①命题“若，则”的逆否命题： “若，则”. ②命题   ③“”是“”的充分不必要条件. ④若为真命题，则,均为真命题. 其中真命题的个数有 A.4个               B.3个               C.2个               D.1个 参考答案： B 略 2. 已知复数z满足,则z=(   ) A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：由得，故选D． 3. 已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（  ） A．(4,5]         B．[4,5)       C. [4,+∞)        D．(－∞,4] 参考答案： B 当x＞0时，f（x）=， 可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减， 由f（x）=e (x+1)2，x≤0， x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增， 可得x=-1处取得极小值1， 作出f（x）的图象，以及直线y=a， 可得e (x1+1)2=e (x2+1)2=， 即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0， 可得x3x4=4， x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减， 可得所求范围为[4，5）．   4. 若f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 参考答案： B 【考点】导数的运算． 【分析】先求导，然后表示出f′（1）与f′（﹣1），易得f′（﹣1）=﹣f′（1），结合已知，即可求解． 【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c， ∴f′（x）=4ax3+2bx， ∴f′（1）=4a+2b=2， ∴f′（﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2， 故选：B． 5. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　） A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图， 所以S底==10， S后=， S右==10， S左==6． 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6． 故选：B． 6. 已知三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1），则过点A的直线l与线段BC有公共点时（公共点包含公共点），直线l的斜率kl的取值范围是（　　） A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 参考答案： B 【考点】直线的斜率． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；直线与圆． 【分析】求出直线AC的斜率kAC=1，直线AB的斜率kAB=﹣1，作出图象，数形结合能求出直线l的斜率kl的取值范围． 【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于D（2，0）， ∵三点A（2，2），B（3，1），C（﹣1，﹣1）， 直线AC的斜率kAC==1， 直线AB的斜率kAB==﹣1， ∴结合图象，得： 直线l的斜率kl的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查直线的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率公式和数形结合思想的合理运用． 7. 已知复数，则（     ） A.            B.               C. 1                D. 2 参考答案： B 略 8. 已知函数f（x）=sin（π﹣2x），g（x）=2cos2x，则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）在区间[]上为增函数 B．函数y=f（x）+g（x）的最小正周期为2π C．函数y=f（x）+g（x）的图象关于直线x=对称 D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象 参考答案： C 【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】将f（x）与g（x）分别化简，再对A，B，C，D四个选项逐一分析即可． 【解答】解：∵f（x）=sin（π﹣2x）=sin2x，y=sinx在[0，]上单调递增，在区间[，π]上单调递减， ∴f（x）=sin2x在区间[]上单调递减，故A错误； 又g（x）=2cos2x=1+cos2x， ∴y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1， ∴其周期T=π，由2x+=kπ+（k∈Z）得，x=+，k∈Z，当k=0时，x=； 故B错误，C正确； 对于D，f（x）=sin2xf（x﹣）=sin[2（x﹣）]=﹣sin2x≠1+cos2x=g（x）， 故D错误． 综上所述，只有C正确． 故选C． 9. 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果． 【解答】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴k=±． 故选A． 10. 若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D 由圆的方程，得圆心坐标为：， 因直线始终平分圆的周长，则直线必过点， ∴， ∴， ∴，即，当且仅当时，等号成立， ∴的取值范围是：，故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设 (是两两不等的常数),则的值是 ______________.  参考答案： 0 略 12. 已知函数是定义在上的奇函数，，，则不等式的解集是   ▲   ． 参考答案： 略 13. 令p(x)：ax2＋2x＋1>0，如果对?x∈R，p(x)是真命题，则a的取值范围是________． 参考答案： a>1 略 14. 执行右边的框图，若输出的结果为8，则输入的x的值 是            ； 参考答案： 略 15. 已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=　   　． 参考答案： 6 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径． 【解答】解： 不妨设A在双曲线的右支上 ∵AM为∠F1AF2的平分线 ∴= 又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6 解得|AF2|=6 故答案为6 16. 已知直线与曲线有公共点，则实数的最大值为________. 参考答案： 略 17. 已知，则不等式恒成立的概率为          ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法.要求写出算法，画出程序框图。 参考答案： 略 19. ( 本小题满分10分) 已知点A,B的坐标分别是直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为 （1）      求动点M的轨迹方程； （2）  若过点的直线交动点M的轨迹于C,D两点，且点N为线段CD的中点，求直线的方程。 参考答案： （1）设         即 (2)        直线的方程为 20. 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.(1)求a、b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围. 参考答案： 解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数. 又因f(x)是奇函数， 从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k). 因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k， 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0. 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 21. 在四棱锥S-ABCD中，侧面SCD⊥底面ABCD，，， ，，. （Ⅰ）求SC与平面SAB所成角的正弦值； （Ⅱ）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）在平面内作交于点，可得平面，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，通过解方程求得平面的法向量，利用，即可得解； （Ⅱ）求得平面的法向量，通过求解，即可得二面角锐角的余弦值. 【详解】在平面内作交于点，又侧面底面，所以平面，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 易得，，，. 由已知条件， ，得， 所以点坐标为 所以向量，，， （Ⅰ）设平面的法向量，则 ， 设求与平面所成角，则， （Ⅱ）设平面的法向量则 ， 所以，. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值等于 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 22. 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品、，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用、和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：   产品A(件) 产品B(件)   研制成本、搭载费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额300万元 产品重量（千克） 10 5 最大搭载重量110千克 预计收益（万元） 80 60   如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少？ 参考答案： 解：设搭载产品A件，产品B y件，则预计收益． 则作出可行域，如图；作出直线并平移. 由图象得，当直线经过M点时, z能取得最大值， , 解得, 即.所以z＝80×9＋60×4＝960(万元). 答：应搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得利润最多达到960万元.