江西省赣州市南康第八中学高三数学理下学期期末试题含解析

江西省赣州市南康第八中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题“或”是假命题，则下列命题：①或；②且；③或；④且；其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 2. 已知双曲线的渐近线为，则双曲线的焦距为     A．            B．2                C．             D．4 参考答案： C 3. 已知全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x<5），则集合么 A． B． C． D． 参考答案： C 4. 复数，则(      )     A.|z|＝2 B.z的实部为1     C.z的虚部为－i D.z的共轭复数为－1＋i 参考答案： 【知识点】复数的相关概念和运算  L4 【答案解析】D  解析：，，故A错误；的实部为-1，故B错误；的虚部为-1，不是，故C错误；根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为，故D正确， 故选：D 【思路点拨】利用复数的除法运算化简复数，然后根据复数的相关概念进行判断即可。   5. 已知函数是上的奇函数.当时，，则  的值是（    ）。 A.3               B. -3                C.-1             D. 1 参考答案： B 6. 已知曲线（为参数），点P为在x轴、y轴上截距分别为8，-4的直线上的一个动点，过点P向曲线引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB恒过点（   ） A.(2,0) B. C.(1,－1) D. 参考答案： D 【分析】 根据条件转化得出曲线C和直线的直角坐标方程，根据题意设的坐标，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减表示出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标． 【详解】解：是直线的任一点，设，曲线（为参数），即圆，由题意知，，，则点在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，则圆心的坐标是，且，圆的方程：①，又②， ②-①得，，即公共弦所在的直线方程： 即，由 解得： 直线恒过定点，故选. 【点睛】本题考查了参数方程，圆的切线性质，圆和圆的位置关系，公共弦所在直线求法以及直线过定点问题，属于中档题． 7. 2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的q（q＞1）倍，那么训练n天产生的总数据量为（　　） A．aqn﹣1 B．aqn C． D． 参考答案： D 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】由已知得训练n天产生的总数据量为Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1，由此能求出结果． 【解答】解：∵训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的q（q＞1）倍， ∴那么训练n天产生的总数据量为： Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1 =． 故选：D． 8. 设变量x，y满足：的最大值为（    ）        A．8                           B．3       C．                       D．                          参考答案： A 9. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若终边经过点(3,4)， 则等于（   ）   A.     B.    C.     D. 参考答案： B 略 10. 下列图形中，不是三棱柱展开图的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为了了解企业职工对所谓“台湾公投”的态度，某记者分别从某大型企业5060岁，3040岁，1825岁，三个年龄段的800人，1200人，1000人中，采取分层抽样的方法进行调研，在5060岁这一年龄段中抽查了40人，那么这次调研一共抽查了____人。 参考答案： 150 略 12. 在中，若          。 参考答案： 2 试题分析：因为，所以 考点：三角恒等变换. 13. 在矩形中，. 若分别在边上运动（包括端点）,且满足,则的取值范围是_________.                        参考答案： 14. 设函数f(x)=sin(2x+),则（1）f(x)的图象关于直线x=对称；（2）把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象；（3）f(x)的图象关于点（对称；（4）f(x)的最小正周期为，且在[0，]上为增函数。 以上说法中正确的为________. 参考答案： ②④ 略 15. 设函数的定义域分别为，且。若对于任意，都有 ，则称函数为在上的一个延拓函数。设，为 在R上的一个延拓函数，且是奇函数，则=                     参考答案： 当时，；当时；∴。 16. 下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是___________. 参考答案： 17. 已知a=e﹣2，b=em，且a?b=1，则m=　   　． 参考答案： 2 【考点】有理数指数幂的化简求值． 【分析】直接利用有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：a=e﹣2，b=em，且a?b=1，即e﹣2+m=1，解得m=2． 故答案为：2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列是等比数列，首项. (l)求数列的通项公式； (2)设数列，证明数列是等差数列并求前n项和. 参考答案： 解：（1）由，及是等比数列， 得，                                                     （2）由=                        因为 所以是以为首项，以为公差的等差数列.   所以       略 19. 如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点． （1）证明：AE⊥PD； （2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 参考答案： 考点：与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间角． 分析：（1）由已知条件推导出AE⊥AD，AE⊥PA，由此能证明AE⊥平面PAD，从而得到AE⊥PD． （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值． 解答： （1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形， ∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点， ∴△ABC是等边三角形， ∴AE⊥BC，∴AE⊥AD， ∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD， ∴AE⊥PA， ∵AE∩AD=A，∴AE⊥平面PAD， ∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD． （2）解：由（1）知AE、AD、AP两两垂直， ∴以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵E， F分别为BC，PC的中点，PA=AB=2， ∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（）， ∴，， 设平面AEF的一个法向量为， 则 取z1=﹣1，得=（0，2，﹣1）， ∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC， ∴为平面AFC的一法向量． 又， ∴cos＜＞==． ∵二面角E﹣AF﹣C为锐角， ∴所求二面角的余弦值为． 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 20. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， （1）求角B的值； （2）设A=θ，求函数的取值范围． 参考答案： 【考点】正弦定理；余弦定理． 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质；解三角形． 【分析】（1）由正弦定理化简已知得sin（B+C）=sinAcosB，从而可求cosB，即可求得B． （2）由（1）可求θ∈（，），利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（θ）=2sin（2θ﹣）+1，由2θ﹣∈（，），利用正弦函数的性质即可求得取值范围． 【解答】（本小题满分12分） 解：（1）∵由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin（B+C）=sinAcosB， ∴cosB=， ∴B=．… （2）锐角△ABC中，A+B=，∴θ∈（，），… =[1﹣cos（+2θ）]﹣cos2θ =（1+sin2θ）﹣cos2θ =sin2θ﹣cos2θ+1=2sin（2θ﹣）+1．…9分 ∵θ∈（，）， ∴2θ﹣∈（，）， ∴2＜2sin（2θ﹣）+1≤3． 所以：函数f（θ）的取值范围是（2，3]．…12分 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题． 21. 本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，，记点P的轨迹为曲线E。     （1）求曲线E的方程；     （2）经过点（0，1）作直线与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求四边形OAMB的面积。 参考答案： 解：（1）设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)。 由＝，得(x－m，y)＝(－x，n－y)， ∴得         … …………   2分 由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2， ∴(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2， 整理，得曲线E的方程为x2＋＝1。           … …………   5分 （2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝＋，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)。 设直线的方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得 (k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－，           … ……………   7分 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝，由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1， 即＋＝1，解得k2＝2。         ………… …………   9分 这时|AB|＝|x1－x2|＝＝， 原点到直线l的距离d＝＝， 所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝。  ……………… ……  12分 22. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为， （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程. 参考答案：