湖南省娄底市涟源第六中学高二数学理期末试题含解析

湖南省娄底市涟源第六中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合（    ） A．     B．   C． D． 参考答案： A 略 2. 把化为十进制数为（     ）                                             A．20 B．12 C．10 D．11 参考答案： C 略 3. 下列求导运算正确的是（　　） A．（log2x）′= B．（x+）′=1+ C．[sin（﹣x）]′=cos（﹣x） D．（x2cosx）′=﹣2sinx 参考答案： A 【考点】导数的运算． 【分析】根据导数的运算法则求导，再判断即可． 【解答】解：（log2x）′=，（x+）′=1﹣， [sin（﹣x）]′=﹣cosx，（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx， 故选：A． 4. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70～78kg的人数为(     ) A．240     B．160     C．80       D．60 参考答案： A 略 5. 在等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0，若am=a1+a2+…+a9，则m的值为（　　） A．37 B．36 C．20 D．19 参考答案： A 【考点】8E：数列的求和；83：等差数列． 【分析】利用等差数列的通项公式可得am=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值． 【解答】解：∵{an}为等差数列，首项a1=0，am=a1+a2+…+a9， ∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0， ∴m=37， 故选A． 6. 已知向量a，若向量与垂直，则的值为             (    ） A．           B．7              C．          D． 参考答案： A 7. 若一个球的表面积为12π，则它的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何． 【分析】直接利用球的表面积公式，求出球的半径，即可求出球的体积． 【解答】解：设球的半径为r， 因为球的表面积为12π， 所以4πr2=12π，所以r=， 所以球的体积V==4π． 故选：A． 【点评】本题考查球的表面积、体积公式的应用，考查计算能力． 8. 圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【分析】等边三角形ABC是半径为 r的圆O的内接三角形，则线AB所对的圆心角∠AOB=，求出AB的长度（用r表示），就是弧长，再由弧长公式求圆心角弧度数． 【解答】解：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 则线AB所对的圆心角∠AOB=， 作OM⊥AB，垂足为M，在 rt△AOM中，AO=r，∠AOM=， ∴AM=r，AB=r， ∴l= r，由弧长公式 l=|α|r， 得，α===． 故选 C． 【点评】本题考查圆心角的弧度数的意义，以及弧长公式的应用，体现了数形结合的数学思想． 9. 已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是（   ） A.      B.     C.        D. 参考答案： D 10. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（    ）   A.任意一个有理数，它的平方是有理数      B.任意一个无理数，它的平方不是有理数     C.存在一个有理数，它的平方是有理数  D.存在一个无理数，它的平方不是有理数  参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知a1=1，an﹣an﹣1=2（n≥2，n∈N*），则{an}的前n项和为　　． 参考答案： n2 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的定义、前n项和公式即可得出． 【解答】解：由a1=1，an﹣an﹣1=2（n≥2，n∈N*），数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2， ∴前n项和Sn=n+=n2． 故答案为：n2． 【点评】本题考查了等差数列的性质、等差数列的定义、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12. 已知函数f(x)=x2+bx+c，其中0b4,0c4，记事件A为 “函数f(x)满足条件：”则事件A发生的概率为       . 参考答案： 13. 不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为　　． 参考答案： （﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或    ②，或 ③． 解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈?，解③求得x≥2． 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 14. 已知6，a，b，48成等差数列，6，c，d，48成等比数列，则a+b+c+d的值为　　． 参考答案： 90 【考点】等比数列的性质；等差数列的性质． 【分析】根据6，a，b，48成等差数列，可得a+b=6+48，根据6，c，d，48成等比数列，可得48=6q3，故公比q=2，求出c和d的值，即得a+b+c+d的值． 【解答】解：根据6，a，b，48成等差数列，可得a+b=6+48=54，根据6，c，d，48成等比数列， 可得48=6q3，故公比q=2，故c+d=12+24=36，∴a+b+c+d=54+36=90， 故答案为90． 15. (2x－4)dx＝________. 参考答案： 略 16. 若（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则的值为       . 参考答案： 13 17. 函数f（x）=+lg的定义域为　    　． 参考答案： （2，3）∪（3，4] 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】使解析式有意义的自变量的集合，列出不等式组解之即可． 【解答】解：要使解析式有意义，只要，解得 即函数定义域为（2，3）∪（3，4]； 故答案为：（2，3）∪（3，4]． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：对于，若 。 参考答案： 解析：（Ⅰ）设             则 又 故在区间上是增函数。                                 .......5分                             ......10分   （Ⅱ）证：     ....15分 ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，            ......20分 19. 已知椭圆C：的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4． （1）求椭圆的方程； （2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0），|AB|=，求直线l的倾斜角． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程； （2）设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角． 【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，a=2b，① 由×2a×2b=4，即ab=2，② 由①②解得：a=2，b=1， ∴椭圆的方程； （2）由题知，A（﹣2，0），直线l斜率存在，故设l：y=k（x+2）， 则，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，△＞0， 由，得，， ∴， ∴，∴k=±1． 故直线的倾斜角为或． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 20. 已知函数f（x）=的定义域为R． （1）求实数m的取值范围； （2）若m的最大值为n，当正数a，b满足+=n时，求7a+4b的最小值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】（1）由题意可得|x+1|+|x﹣1|﹣m≥0恒成立，可设函数g（x）=|x+1|+|x﹣1|，运用绝对值不等式的性质，可得g（x）的最小值为2，即有m≤2； （2）运用乘1法，变形可得7a+4b=（7a+4b）（+）= [2（3a+b）+（a+2b）]（+），展开后运用基本不等式，可得最小值，注意等号成立的条件． 【解答】解：（1）因为函数定义域为R， 所以|x+1|+|x﹣1|﹣m≥0恒成立． 设函数g（x）=|x+1|+|x﹣1|，则m不大于函数g（x）的最小值． 又|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|=2， 即g（x）的最小值为2，所以m≤2． 故m的取值范围为（﹣∞，2]； （2）由（1）知n=2，正数a，b满足+=2， 所以7a+4b=（7a+4b）（+） = [2（3a+b）+（a+2b）]（+） = [5++]≥（5+2）=， 当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时，等号成立． 所以7a+4b的最小值为． 21. 如图，已知椭圆C的方程为，点P（a，b）的坐标满足，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求： （1）点Q的轨迹方程； （2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数． 参考答案： 【考点】圆锥曲线的综合． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）先把A、B两点和点Q的坐标设出来，再分A、B两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线l的方程，再利用A、B两点既在直线上又在椭圆C上，可以找到A、B两点坐标之间的关系，最后利用中点坐标公式，就可求点Q的轨迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）； （2）先找到曲线L与y轴的交点（0，0），（0，b）以及与x轴的交点坐标（0，0），（a，0），再对a和b的取值分别讨论，分析出与坐标轴的交点的个数（注意点P（a，b）的坐标满足）． 【解答】解：（1）设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），点Q的坐标为Q（x，y）．当x1≠x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣a）+b 由已知① y1=k（x1﹣a）+b，y2=k（x2﹣a）+b② 由①得③ 由②得y1+y2=k（x1+x2）﹣2ak+2b④ 由③④及，，， 得点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0⑤ 当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）． 显然点Q的坐标满足方程⑤ 综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0． 设方程⑤所表示的曲线为L， 则由 得（2a2+b2）x2﹣4ax+2﹣b2=0． 因为，由已知， 所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）． 当时，△＜0，曲线L与椭圆