四川省雅安市邛崃强项试验中学高三数学理期末试题含解析

四川省雅安市邛崃强项试验中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. = A. O    B. 1   C.   D. 参考答案： D 2. 已知集合，A∩B=（   ） A．          B．(－1,2)        C. (2,3)         D．(2,4) 参考答案： C 求解二次不等式可得：， 结合交集的定义可得：. 表示为集合的形式即. 本题选择C选项.   3. 等差数列的值为（    ） A．20 B．－20 C．10 D．－10 参考答案： D 解析： 4. 已知定义域为的函数是奇函数，当时，||，且对 ，恒有，则实数的取值范围为（     ） A．[0，2]          B．[，]          C．[1，1]          D．[2，0] 参考答案： B 5. 右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 （A）    （B）      （C）     （D） 参考答案： C 6. 已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示， 若该几何体的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的侧视图可能是 参考答案： C 7. 中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦澳笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术．隙积术意即：将木捅一层层堆放成坛状，最上一层长有a个，宽有b个，共计ab个木桶．每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n层，设最底层长有c个，宽有d个，则共计有木桶个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层．则木桶的个数为（　　） A．1260 B．1360 C．1430 D．1530 参考答案： D 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由已知条件求出a，b，c，d，代入公式能求出结果． 【解答】解：∵最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层． ∴最底层长有c=a+15=17个，宽有d=b+15=16个 则木桶的个数为： =1530． 故选：D． 8. 已知集合U={a,b,c,d,e}，M={a,d}，N={a,c,e}，则M∪eUN为  A．{c,e}    B．{a,b,d}       C．{b,d}       D．{a,c,d,e} 参考答案： B 9. 某公司2010～2015年的年利润（单位：百万元）与年广告支出（单位：百万元）的统计资料如下表所示： 根据统计资料，则 A．利润中位数是16，与有正线性相关关系 B．利润中位数是17，与有正线性相关关系 C．利润中位数是17，与有负线性相关关系 D．利润中位数是18，与有负线性相关关系 参考答案： B 考点：样本的数字特征，线性相关关系． 10. 已知实数满足约束条件,则的最大值等于 (　　) A．9            B．12             C．27            D．36 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义：区间长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间长度的最小值为        . 参考答案： 略 12. 等差数列{an}中，a2=8，S10=185，则数列{an}的通项公式an=   ▲   (n?N*)． 参考答案： 3n+2 13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.   15 参考答案： 由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是. 【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积. 14. 设函数，若，则a=_______． 参考答案： 【分析】 当时，解方程，求出值，判断是否存在； 当时，解方程，求出的值，判断是否存在，最后确定的值. 【详解】当时， ，而，故舍去； 当时， ，所以. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力. 15. 若a＞0，b＞2，且a+b=3，则使得+取得最小值的实数a=　　． 参考答案： ． 【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3， ∴a+b﹣2=1， 那么：（+）[a+（b﹣2）]=4+1+（+） ≥5+2=9， 当且仅当2（b﹣2）=a时即取等号． 联立， 解得：a=． 故答案为：． 16. 设等比数列满足公比,,且数列中任意两项之积也是该数列的一项.若，则的所有可能取值之和为_______________. 参考答案： 22 17. 已知等差数列中，,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵:                                                                         则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_________ 参考答案： 598 由，解得公差，所以通项公式为。则前19行的共有项，所以第20行第10个数为等差数列中的第项，所以。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）已知数列的前项和记为，且满足． 求数列的通项公式； 设，记，求证：． 参考答案： （Ⅰ）当时，，解得， ----------------1分      当时，， ，-----------------------------------------------------------------------2分 两式相减得：， 即，  ------------------------------------------------------------------------------------------5分 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，------------------6分 （Ⅱ）证法1：当为偶数时， ----------------------------7分                     ，--------------------------------10分=；-----------11分                                              当是奇数时，. 综上可知.---------------------------------------------------------------------------------14分 证法2：当时，，，,不等式显然成立-------8分 当时,要证明， 只要证明， 只要证明.    --------9分 又因为当时，， 即 故 而       -----------------------------------------------12分 ----------------------------------------------------------------------13分 .-------------------------------------------------------------------------------14分 19. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4． （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．     参考答案： (I)(II)   解析：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d， ∵a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d）， 解得d=2，∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；又b2=a2=3，b3=a5=9，∴q=3，b1=1，∴bn=3n﹣1． （Ⅱ）∵++…+=an+1，∴=a2，即c1=b1a2=3，又++…+=an（n≥2）， ∴=an+1﹣an=2（n≥2），∴cn=2bn=2?3n﹣1（n≥2），∴cn=． ∴c1+c2+…+c2014=3+2?3+2?32+…+2?32013=3+2（3+?32+…+32013） =3+2?=32014．   略 20. (本小题共l4分)     已知函数．     (I)设函数，求的单调区间与极值；     (Ⅱ)设，解关于的方程 (Ⅲ)试比较与的大小. 参考答案： 【知识点】导数的应用  对数函数    B12  B7 （Ⅰ）时，是减函数；时，是增函数．函数在处有得极小值；（Ⅱ）①当时，原方程有一解； ②当时，原方程有二解；③当时，原方程有一解； ④当或时，原方程无解；（Ⅲ）>. （Ⅰ）由（）知，，令，得． 当时，；当时，． 故当时，是减函数；时，是增函数． 函数在处有得极小值． （Ⅱ）方法一：原方程可化为， 即为，且 ①当时，，则，即， ，此时，∵， 此时方程仅有一解． ②当时，，由，得，， 若，则，方程有两解； 若时，则，方程有一解； 若或，原方程无解． 方法二：原方程可化为， 即， ①当时，原方程有一解； ②当时，原方程有二解； ③当时，原方程有一解； ④当或时，原方程无解． （Ⅲ）由已知得． 设数列的前n项和为，且（） 从而，当时，． 又 ． 即对任意时，有， 又因为，所以． 故． 【思路点拨】（Ⅰ）因为，令，得．当时，；当时，，可得函数的单调区间以及极值；（Ⅱ）原方程可化为，即，进而解得；（Ⅲ）由已知得．设数列的前n项和为，且（），由做差法可得>0, 即对任意时，有，所以可得到 . 21. 本小题满分12分） 已知数列的前项和为，，且（为正整数） （Ⅰ）求出数列的通项公式； （Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值. 参考答案： 解：（1）， ① 当时，.   ②      由 ① - ②，得.     .                 又 ，，解得 .     数列是首项为1，公比为的等比数列.     （为正整数）.            ……………………6分 （2）由（Ⅰ）知       由题意可知，对于任意的正整数，恒有， 数列单调递增， 当时，该数列中的最小项为，       必有，即实数的最大值为1.                   ……………… 12分 略 22. 已知函数. （1）试讨论f(x)的单调区间； （2）若时，函数f(x)的图像与x轴交于，两点，且，求证：. 参考答案： （1）见解析；（2）见证明 【分析】 （1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，即可得出结果； （2）先由（1）得到当时，1是的极值点，构造函数，用导数方法研究单调性，再结合题中条件，即可证明结论成立. 【详解】解：（1） ①当时，， 在上是增函数. ②当时，由得. 当时，； 当时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由（1）可知：当时，1是的极值点， 构造函数， 在上单调递增，所以, 又，， 又   又在是增函数， 【