上海市浦东新区洋泾中学南校高三数学理月考试卷含解析

上海市浦东新区洋泾中学南校高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.  已知数列为等比数列，若，则等于        A．                                            B．      C．                                             D． 参考答案： C 2. 已知定义域为R的函数f（x）在区间（4，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+4）为偶函数，则(     ) A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5） C．f（3）＞f（5） D．f（3）＞f（6） 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的图象与图象变化． 【专题】转化思想． 【分析】先利用函数的奇偶性求出f（2）=f（6），f（3）=f（5），再利用单调性判断函数值的大小． 【解答】解：∵y=f（x+4）为偶函数，∴f（﹣x+4）=f（x+4） 令x=2，得f（2）=f（﹣2+4）=f（2+4）=f（6）， 同理，f（3）=f（5），又知f（x）在（4，+∞）上为减函数， ∵5＜6，∴f（5）＞f（6）；∴f（2）＜f（3）；f（2）=f（6）＜f（5） f（3）=f（5）＞f（6）． 故选D 【点评】此题主要考查偶函数的图象性质：关于y轴对称及函数的图象中平移变换． 3. 已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sincos，则实数a等于（　　） A．﹣ B．﹣ C．± D．± 参考答案： B 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论． 【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sincos=﹣， ∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sincos， ∴=﹣， ∴a=﹣， 故选B． 4. 右图给出了红豆生长时间（月）与枝数（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？         A．指数函数：     B．对数函数：     C．幂函数：     D．二次函数： 参考答案： A 略 5. 已知函数图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将的图象向右平移个单位得到的图象，则函数图象的一条对称轴方程是（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： B 6. 若，则 A．    B．    C．    D． 参考答案： C 7. 设实数满足  ，则的取值范围是   ．          ．        ．      ．   参考答案： B 8. 已知向量，满足⊥，|+|=t||，若+与﹣的夹角为°，则t的值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 参考答案： C 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】由题意可得，利用两个向量的夹角公式求得||，再利用勾股定理求得t的值． 【解答】解：∵⊥，|+|=t||，∴， 则cos=﹣==， 化简可得22=（2+t2），∴ ||， 再由，t＞0，解得t=2． 故选：C． 9. 若圆的圆心到直线的距离为，则a的值为 （    ）     A．-2或2   B．   C．    D．-2或0 参考答案： C 略 10. 设集合，，，则等于     (A)         (B)         (C)               (D) 参考答案： B 因为，所以，选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数x，y满足约束条件：，若只在点(4,3)处取得最小值，则a的取值范围是______． 参考答案： 【分析】 由约束条件作出可行域，然后对进行分类，当时显然满足题意，当时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线的斜率的大小得到的范围． 【详解】由实数x，y满足约束条件：作可行域如图， 联立，解得． 当时，目标函数化为，由图可知， 可行解使取得最大值，符合题意； 当时，由，得，此直线斜率大于0，当轴上截距最大时最大， 可行解为使目标函数的最优解，符合题意； 当时，由，得，此直线斜率为负值， 要使可行解为使目标函数取得最大值的唯一的最优解，则，即． 综上，实数的取值范围是，故答案为． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在轴上的截距分析的取值情况，是中档题． 12. 已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积     ． 参考答案： 考点：球的体积和表面积；球内接多面体． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：求出三棱锥P﹣ABC的高为=，利用三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，可得三棱锥P﹣ABC的内切球的半径，即可求出三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积． 解答： 解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1， ∴底面外接圆的半径为， ∴三棱锥P﹣ABC的高为=， ∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1， ∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为， ∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×=． 故答案为：． 点评：本题考查三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P﹣ABC的内切球的半径是关键． 13. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为               . 参考答案： 因为，所以，所以，所以，所以。                                                 14. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为         ． 参考答案： 由三角数阵可知：第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，……，所以前n-1行共有：，所以第n行的第一个数为，所以第n行（n≥3）从左向右的第3个数为。 15. 已知关于的方程有实根，则的取值范围是      参考答案： 略 16. 对任意两个实数，定义若， ，则的最小值为　　． 参考答案： 因为，所以时，解得或。当时，，即，所以，做出图象，由图象可知函数的最小值在A处，所以最小值为。 17. 圆（x﹣1）2+y2=1被直线x﹣y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为　　． 参考答案： 1：3 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得． 【解答】解：圆的圆心为（1，0）到直线x﹣y=0的距离为=， ∴弦长为2×=． 根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形， 较短弧长为×2π×1=，较长的弧长为2π﹣=， ∴较短弧长与较长弧长之比为1：3 故答案为：1：3． 【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质．在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知函数。 （1）写出f(x)的单调区间；     （2）解不等式f(x)<3. 参考答案： 解析：（1）  3分 ∴f(x)的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调递减区间是[1，2]    ……6分 （2） ∴不等式；                               ……12分 19. 在中，的对边分别为，已知向量与向量互相垂直。 （1）       求角B的大小 （2） 若AB边上的中线，动点P满足，求的最小值。 参考答案： 略 20. 已知椭圆的离心率是，O为坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左、右视点，P为椭圆C上异于A，B的一点，直线AP，BP的斜率分别是。 （1）求证：为定值； （2）设直线l交椭圆C于M，N两点，，，且的面积是，求椭圆C的标准方程。 参考答案： (1) .(2) . 【分析】 (1) 设,,根据点在椭圆上得到结果；（2）设直线的方程为，， ，即，，联立直线和椭圆，再由韦达定理得到结果. 【详解】（1）由题意得，，即， 则椭圆可化为，设，则， ∴； （2）由题意知，不垂直于轴，设直线的方程为， 联立，得， ， 设，则， ∵，∴，即， ∴，∴， 即得，， ∵， 点到直线的距离， ∴， 解得，则，∴椭圆的标准方程是. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21. （15分）已知椭圆（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为，以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）与椭圆相交于B、C两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）设P是椭圆C长异于B、C的任一点，直线PB、PC与x轴分别交于M、N， 求S△POM?S△PON的最大值． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）椭圆的长轴长，焦距，及a2=b2+c2，求得a、b即可． （Ⅱ）设B（x0，y0）则C（x0，﹣y0），可得==，由﹣2＜x0＜2，求得的取值范围． （Ⅲ）设P（x1，y1）（y1≠±y0），得到直线PB，PC的方程，分别令y=0得，，得=， 依据﹣1≤y1≤1，求得S△POM?S△PON取得最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的长轴长为4，焦距为，∴2a=4，2c=2， ∴a=2，b2=a2﹣c2=1 ∴椭圆的标准方程为． （Ⅱ）设B（x0，y0）则C（x0，﹣y0）且， ∴==， 因为﹣2＜x0＜2，所以的取值范围为． （Ⅲ）设P（x1，y1）（y1≠±y0），则， 直线PB，PC的方程分别为：，， 分别令y=0得，， 所以==， 于是=， 因为﹣1≤y1≤1，所以S△POM?S△PON取得最大值为1． 【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积，面积的范围，属于中档题． 　 22. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． 参考答案： 考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化． 专题：坐标系和参数方程． 分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程． （II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出． 解答： 解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1， ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． （II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得． 设（ρ2，θ2）为点