广东省江门市台山深井中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相关于点B、C，且｜AB｜＝｜BC｜，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
B
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【解答】解：画出可行域（如图），z=x﹣2y?y=x﹣z，
由图可知，
当直线l经过点A（1，﹣1）时，
z最大，且最大值为zmax=1﹣2×（﹣1）=3．
故选：B．
【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
3. 函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a=（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
参考答案：
D
考点：
利用导数研究函数的极值．
专题：
计算题．
分析：
因为f（x）在x=﹣3是取极值，则求出f′（x）得到f′（﹣3）=0解出求出a即可．
解答：
解：∵f′（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=﹣3时取得极值
∴f′（﹣3）=30﹣6a=0
则a=5．
故选D
点评：
考查学生利用导数研究函数极值的能力．
4. 某城市年的空气质量状况如下表所示：
污染指数
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良； 时，空气质量为轻微污染．该城市年空气质量达到良或优的概率为【 】.
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量=， =，其中=（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则+的最小值是（ ）
A．3+2 B．4 C．2 D．3
参考答案：
A
【考点】9R：平面向量数量积的运算；7F：基本不等式．
【分析】由满足的关系式得，，可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立
【解答】解：∵ =（1，2），=（2，1），平面区域D由所有满足=λ+μ，点P（x，y）
∴即
∵0≤μ≤λ≤1．
∴
可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得=（）（a+b）=3，当且仅当b=时“=”成立，
6. 一个人打靶时连续射击两次，事件
“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
参考答案：
D
7. 执行如图所示的程序框图如果输入n=3,则输出的s=
A. B.
C. D.
参考答案：
D
8. 函数，的最大值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
参考答案：
A
【分析】
根据正弦的差角公式及辅助角公式化简，结合正弦函数图象与性质即可求得最大值。
【详解】根据正弦的差角公式，化简可得
因为
所以
因为正弦函数 在上单调递增
所以当时取得最大值，此时
所以选A
【点睛】本题考查了三角函数式的化简，求给定区间内函数的最值，属于基础题。
9. 已知，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
参考答案：
A
故选：A．
10. 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )
A． B． C．π D．
参考答案：
A
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积．
解答：解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，
那么圆柱体的体积是：π×（）2×1=，
故选A．
点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列的首项是-1,前n项和为Sn, 如果,则S4的值是_________.
参考答案：
略
12. 函数导数是 。
参考答案：
13. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表
广告费用x（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ．
参考答案：
65.5万元
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．
【解答】解：∵=3.5，
=42，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，
故答案为：65.5万元．
14. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是,若,,=45°,则角A=_____________.
参考答案：
略
15. 已知点M在直线（为参数）上，点N为曲线（为参数）上的动点，则的最小值为________________.
参考答案：
【分析】
先求出直线的普通方程，再求出点到直线的距离，再利用三角函数的性质求出|MN|的最小值.
【详解】由题得直线方程为，
由题意，点到直线的距离，
∴.
故答案为：
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查点到直线的距离的最值的求法和三角函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16. 用秦九韶算法计算多项
式 当时
的值为 _________。
参考答案：
0
17. 等差数列中，，且，则中最大项为
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
如图，已知中，,,,,求的长度．
参考答案：
由正弦定理得，所以； ……………… 7分
于是由余弦定理得，
所以． ………………… 14分
19. （本小题满分12分）如图，已知正三棱柱的底面正三角形的边长是2，D是的中点，直线与侧面所成的角是．
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
参考答案：
解：解法一（1）设侧棱长为，取BC中点E，
则面，∴ ∴ 解得 ……3分
过E作于，连，
则，为二面角的平面角
∵，，∴
故二面角的大小为 ………… 6分
（2）由（1）知面，∴面面
过作于，则面
∴ ∴到面的距离为 ………… 12分
解法二：（1）求侧棱长 ……………3分
取BC中点E , 如图建立空间直角坐标系，
则，，，
E
设是平面的一个法向量，则由
得 而是面的一个法向量
∴．而所求二面角为锐角，
即二面角的大小为 …… …… 6分
（2）∵ ∴点到面的距离为 …… 12分
略
20. 从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ，
求（Ⅰ）ξ的分布列；
（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率．
参考答案：
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，ξ股从超几何分布P（ξ=k）=，由此能求出ξ的分布列．
（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率为P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4），由此能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
ξ股从超几何分布P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）==，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
P
（Ⅱ）所选女生不少于2人的概率为：
P（ξ≥2）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）
==．
21. （本小题满分12分）
已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。
参考答案：
解：(1)的定义域为。
2分
（i）若即,则
故在单调增加。 3分
(II)考虑函数
则
由于1
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