2022-2023学年江西省九江市永安中学高一数学理联考试题含解析

2022-2023学年江西省九江市永安中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合，则（   ） A．     B．     C．     D．     参考答案： D 2. 若向量a，b满足|a|=1，|b| =，且（a+b）⊥（2a-b），则a与b的夹角为(  ) A．         B．       C．         D． 参考答案： A 略 3. 设等比数列的前n项和为，若，则的值为 A．                B． C．                D． 参考答案： 略 4. 已知，则的值为(　     　)   A．0               B．1              C．－1             D． 参考答案： C 5. 已知向量，，，若，则角（   ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由向量点乘的公式带入，可以得到，再由求出角的精确数值. 【详解】由，及可得 ，化简得 或 又，则为唯一解，答案选D. 【点睛】1、若向量，则向量点乘； 2、解三角方程时，若，则或； 3、解三角方程时尤其要注意角度的取值范围. 6. （5分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 参考答案： B 考点： 确定直线位置的几何要素． 专题： 计算题． 分析： 化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 解答： 由题意可知B≠0，故直线的方程可化为， 由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限， 故选B 点评： 本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题． 7. 已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆 的方程为  A.           B. C.    D.  参考答案： D 8. 已知函数是定义在上的偶函数,且当时, 单调递增，则关于的不等式的解集为（   ） A．      B．      C．   D．随的值而变化 参考答案： C 略 9. 已知等比数列的公比，则等于(     ) A.             B.               C.                 D. 参考答案： B 10. 正方体不在同一平面上的两顶点，则正方体的体积是 A. 16                      B. 192             C. 64                          D. 48 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的，其中a，b，c 分别为△ABC内角A，B，C的对边.若，且则△ABC的面积S的最大值为____． 参考答案： 【分析】 由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案。 【详解】因为，所以 整理可得 ，由正弦定理得 因为， 所以 所以当时，的面积的最大值为 【点睛】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力。 12. 已知一个四次方程至多有四个根，记为x1，x2，…，xk（k≤4）．若方程x4+ax﹣4=0各个实根所对应的点(xi,), (i=1,2,…k)均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围　      　． 参考答案： a＜﹣6或a＞6 【考点】根的存在性及根的个数判断；二元一次不等式（组）与平面区域． 【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用． 【分析】原方程等价于x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y= 的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案． 【解答】解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x3+a=， 原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y= 的交点的横坐标， 而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的， 若交点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧， 因直线y=x与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）； 所以结合图象可得或， 解得a＞6或a＜﹣6． 故答案为：a＞6或a＜﹣6． 【点评】本题综合考查函数与方程的应用，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．考查学生的转化二行推理能力． 13. 在中，，，，则__________． 参考答案： 【考点】HP：正弦定理． 【分析】由正弦定理可得，再由三角形的边角关系，即可得到角． 【解答】解：由正弦定理可得， ， 即有， 由，则， 可得． 故答案为：． 14. 设集合，且，则实数的取值范围是      参考答案： 略 15. ．已知集合，集合，若是单元素集，则=           ． 参考答案： 6 或 -4 略 16. 打一口深21米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用        小时。 参考答案： 4 17. 给出下列命题：     ①存在实数，使； ②若是第一象限角，且，则； ③函数是偶函数； ④函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象． 其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上） 参考答案： ① ③   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分） 点（2，1）与（1，2）在函数的图象上，求的解析式 参考答案： 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）． （1）若⊥，求tanx的值； （2）若与的夹角为，求x的值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角． 【分析】（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值； （2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值． 【解答】解：（1）若⊥， 则?=（，﹣）?（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0， 即sinx=cosx sinx=cosx，即tanx=1； （2）∵||=，||==1， ?=（，﹣）?（sinx，cosx）=sinx﹣cosx， ∴若与的夹角为， 则?=||?||cos=， 即sinx﹣cosx=， 则sin（x﹣）=， ∵x∈（0，）． ∴x﹣∈（﹣，）． 则x﹣= 即x=+=． 20. （10分）设，是两个不共线的非零向量，如果=3+k，=4+，=8﹣9，且A，B，D三点共线，求实数k的值． 参考答案： 考点： 平面向量的基本定理及其意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 先求出=，而由A，B，D三点共线即可得到向量共线，所以存在λ使，带入并根据平面向量基本定理即可得到，解该方程组即得k的值． 解答： ； ∵A，B，D三点共线； ∴存在实数λ使； ∴； ∴； 解得k=﹣2． 点评： 考查向量的加法和数乘运算，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理． 21. （本小题满分14分）已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。  （Ⅰ）函数是否属于集合？说明理由；  （Ⅱ）设函数，求的取值范围；  （Ⅲ）设函数图象与函数的图象有交点，证明：函数。 参考答案： 略 22. 如图，在半径为40cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，点C，D在圆周上、 （1）设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示成x的函数，并写出其定义域； （2）怎样截取，才能使矩形材料ABCD的面积最大？并求出最大面积． 参考答案： 【考点】数列的应用． 【分析】（1）OA=2=2，可得y=f（x）=2x，x∈（0，40）． （2）平方利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：（1）AB=2OA=2=2， ∴y=f（x）=2x，x∈（0，40）． （2）y2=4x2（1600﹣x2）≤4×=16002，即y≤1600，当且仅当x=20时取等号． ∴截取AD=20时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为1600． 【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．