广东省中山市东升镇高级中学高三数学理月考试卷含解析

广东省中山市东升镇高级中学高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某几何体的三视图（单位：dm）如图所示，则该几何体的体积是 A．dm3           B．dm3 C．1dm3 D．dm3 参考答案： D 2. 设,,，,则（   ） A.            B.      C.            D. 参考答案： A 由于，故， ，故，而，故，所以，故选A.   3. 平面向量与的夹角为，，则等于（   ） A．              B．             C．4                D． 参考答案： B 4. 设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间[－1,0)上是增函数，且，则有（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案. 【详解】解：为奇函数，， 又 ，， 又，且函数在区间上是增函数， ， ， 故选A. 【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力. 5. 如右图，△ABC中，｜｜＝3，｜｜＝1， D是BC边中垂线上任意一点，则·（－）    的值是  A．1            B． C．2            D．4 参考答案： D 略 6. 自点向圆引切线，则切线长度的最小值等于 A．                   B．                 C．                    D． 参考答案： B 7. 若函数f(x)=在区间上有极值点,则实数的取值范围是(    ) A.        B.         C.           D. 参考答案： C 8. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=10，S12=130，则S8=（　　） A．﹣30 B．40 C．40或﹣30 D．40或﹣50 参考答案： B 【考点】89：等比数列的前n项和． 【分析】根据等比数列的性质：数列{an}为等比数列，且数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，…也构成等比数列，结合已知中S3=2，S9=14，可得答案． 【解答】解：∵数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn， ∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8也构成等比数列． ∴（S8﹣S4）2=S4?（S12﹣S8）， ∵S4=10，S12=130，各项均为正数的等比数列{an}， ∴（S8﹣10）2=10?（130﹣S8）， ∴S8=40． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质，Sk，S2k﹣Sk，S3k﹣S2k，…也构成等比数列，是解答的关键． 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　） A．3π B．4π C．2π+4 D．3π+4 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是圆柱体的一半， ∴该几何体的表面积为 S几何体=π?12+π×1×2+2×2 =3π+4． 故选：D． 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目． 10. 要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象(     ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 参考答案： C 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】利用诱导公式化简函数y=cos（2x﹣）为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项． 【解答】解：因为函数y=cos（2x﹣）=sin（2x+）， 所以可将函数y=cos（2x﹣）的图象，沿x轴向右平移，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，得到函数y=sin2x的图象， 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为          ． 参考答案： 0.05  12. 如图，定圆C半径为r，A为圆C上的一个定点，B为圆C上的动点，若点A，B，C不共线，且对任意t∈（0，+∞）恒成立，则=      ． 参考答案： r2 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：两边平方，设?=m，整理可得r2t2﹣2tm﹣（r2﹣2m）≥0，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式，即可得到m． 解答： 解：即为 |﹣t|≥|﹣|， 两边平方可得，﹣2t?+t22≥﹣2?+2， 设?=m， 即有r2t2﹣2tm﹣（r2﹣2m）≥0， 对任意t∈（0，+∞）恒成立， 则有判别式△=4m2+4r2（r2﹣2m）≤0， 化简可得（m﹣r2）2≤0， 由于（m﹣r2）2≥0，则m=r2， 即有?=r2． 故答案为：r2． 点评：本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，属于中档题和易错题． 13. 若“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是若         ． 参考答案： a+b不是偶数，则a、b不都是偶数 考点：四种命题． 专题：规律型． 分析：根据逆否命题的定义即可得到结论． 解答： 解：根据逆否命题的定义可知，“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是： 若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数． 故答案为：若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数． 点评：本题主要考查四种命题之间的关系和定义，比较基础． 14. 选修4—5不等式选讲）已知则的最大值是        .； 参考答案： 15. 已知，则=    ． 参考答案： 6 16. 设椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，若的内切圆的面积为，则        参考答案： 4 17. 设实数x，y满足，则的最大值为        。 参考答案： 2  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=2cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2π． （1）求ω的值； （2）记△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A﹣）=1，且a=b，求sinB的值． 参考答案： 考点：余弦函数的图象；正弦定理． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）由条件利用y=Asin（ωx+）的周期等于 T=，求得ω的值． （2）由f（A﹣）=1，求得A的值，再利用a=b以及正弦定理求得sinB的值． 解答： 解：（1）∵函数f（x）=2cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为2π， ∴=2π，∴ω=1． （2）∵f（A﹣）=2cos（A﹣+）=1，∴cosA=，A=，∴sinA=． ∵=，a=b，∴=，即 sinB=1． 点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，y=Asin（ωx+）的周期等于 T=，属于基础题． 19. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a． （1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围； （2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）由题意可得即 g（x）＜﹣a恒成立，作出函数g（x）的图象，求得函数g（x）的最大值为g（x）max=1，可得﹣a＞1，∴从而求得a的范围． （2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），则它与y=x的图象始终有3个交点，从而得到a的范围． 【解答】解：（1）令g（x）=|x+1|﹣|x|，则由题意可得f（x）≥0的解集为?，即g（x）≥﹣a的解集为?， 即 g（x）＜﹣a恒成立． ∵，作出函数g（x）的图象， 由图可知，函数g（x）的最小值为g（x）min=﹣1；函数g（x）的最大值为g（x）max=1． ∴﹣a＞1，∴a＜﹣1， 综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）． （2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知， 把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点， 从而﹣1＜a＜0． 【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立问题，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题． 20. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x+m|-|2x-2m|(m＞0)． （1）当时，求不等式的解集； （2）对于任意的实数x，存在实数t，使得不等式f(x)+|t-3|＜|t+4|成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：因为m＞0，所以 （1）当时， 所以由，可得或或， 解得或， 故原不等式的解集为． （2）因为f(x)+|t-3|＜|t+4|?f(x)＜|t+4|-|t-3|， 令g(t)＝|t+4|-|t-3|，则由题设可得f(x)max＜g(t)max． 由得f(x)max＝f(m)＝2m． 因为-|(t+4)-(t-3)|≤|t+4|-|t-3|≤|(t+4)-(t-3)|，所以-7≤g(t)≤7， 故g(t)max＝7，从而2m＜7，即， 又已知m＞0，故实数m的取值范围是．   21. 已知函数f（x）=． （1）当时，求函数f（x）的取值范围； （2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），由，可求2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的图象和性质可求f（x）的取值范围． （2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=f（x+）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）∵f（x）===sin（2x﹣）， ∵时，2x﹣∈[﹣，]， ∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]． ∴函数f（x）的取值范围为：[﹣，1]…6分 （2）∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）， ∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k，kπ+]，k∈Z…12分 【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题． 22. （本小题满分15分）     已知函数    （I）当处的切线方程；    （II）当的单调性 ；    （III