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广东省中山市东升镇高级中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某几何体的三视图(单位:dm)如图所示,则该几何体的体积是
A.dm3 B.dm3 C.1dm3 D.dm3
参考答案:
D
2. 设,,,,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
由于,故, ,故,而,故,所以,故选A.
3. 平面向量与的夹角为,,则等于( )
A. B. C.4 D.
参考答案:
B
4. 设函数是定义在实数集上的奇函数,在区间[-1,0)上是增函数,且,则有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
由题意可得,,再利用函数在区间上是增函数可得答案.
【详解】解:为奇函数,,
又
,,
又,且函数在区间上是增函数,
,
,
故选A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小,考查利用知识解决问题的能力.
5. 如右图,△ABC中,||=3,||=1,
D是BC边中垂线上任意一点,则·(-)
的值是
A.1 B.
C.2 D.4
参考答案:
D
略
6. 自点向圆引切线,则切线长度的最小值等于
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 若函数f(x)=在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=( )
A.﹣30 B.40 C.40或﹣30 D.40或﹣50
参考答案:
B
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】根据等比数列的性质:数列{an}为等比数列,且数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k﹣Sk,S3k﹣S2k,…也构成等比数列,结合已知中S3=2,S9=14,可得答案.
【解答】解:∵数列{an}为等比数列且数列{an}的前n项和为Sn,
∴S4,S8﹣S4,S12﹣S8也构成等比数列.
∴(S8﹣S4)2=S4?(S12﹣S8),
∵S4=10,S12=130,各项均为正数的等比数列{an},
∴(S8﹣10)2=10?(130﹣S8),
∴S8=40.
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是等比数列的性质,熟练掌握等比数列的性质,Sk,S2k﹣Sk,S3k﹣S2k,…也构成等比数列,是解答的关键.
9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体的一部分,利用图中数据求出它的表面积.
【解答】解:根据几何体的三视图,得;
该几何体是圆柱体的一半,
∴该几何体的表面积为
S几何体=π?12+π×1×2+2×2
=3π+4.
故选:D.
【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题,是基础题目.
10. 要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
参考答案:
C
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】利用诱导公式化简函数y=cos(2x﹣)为正弦函数类型,然后通过平移原则,推出选项.
【解答】解:因为函数y=cos(2x﹣)=sin(2x+),
所以可将函数y=cos(2x﹣)的图象,沿x轴向右平移,得到y=sin[2(x﹣)+]=sin2x,得到函数y=sin2x的图象,
故选:C.
【点评】本题考查三角函数的诱导公式的应用,函数的图象的平移,考查计算能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表。为了检验主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到,所以断定主修统计专业与性别有关系,这种判断出错的可能性最高为 .
参考答案:
0.05
12. 如图,定圆C半径为r,A为圆C上的一个定点,B为圆C上的动点,若点A,B,C不共线,且对任意t∈(0,+∞)恒成立,则= .
参考答案:
r2
考点:平面向量数量积的运算.
专题:计算题;平面向量及应用.
分析:两边平方,设?=m,整理可得r2t2﹣2tm﹣(r2﹣2m)≥0,再由不等式恒成立思想,运用判别式小于等于0,解不等式,即可得到m.
解答: 解:即为
|﹣t|≥|﹣|,
两边平方可得,﹣2t?+t22≥﹣2?+2,
设?=m,
即有r2t2﹣2tm﹣(r2﹣2m)≥0,
对任意t∈(0,+∞)恒成立,
则有判别式△=4m2+4r2(r2﹣2m)≤0,
化简可得(m﹣r2)2≤0,
由于(m﹣r2)2≥0,则m=r2,
即有?=r2.
故答案为:r2.
点评:本题考查平面向量的运用,考查平方法的运用,考查向量的平方即为模的平方,考查二次不等式恒成立的求法,注意运用判别式小于等于0,考查运算能力,属于中档题和易错题.
13. 若“a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是若 .
参考答案:
a+b不是偶数,则a、b不都是偶数
考点:四种命题.
专题:规律型.
分析:根据逆否命题的定义即可得到结论.
解答: 解:根据逆否命题的定义可知,“a、b都是偶数,则a+b是偶数”的逆否命题是:
若a+b不是偶数,则a、b不都是偶数.
故答案为:若a+b不是偶数,则a、b不都是偶数.
点评:本题主要考查四种命题之间的关系和定义,比较基础.
14. 选修4—5不等式选讲)已知则的最大值是 .;
参考答案:
15. 已知,则= .
参考答案:
6
16. 设椭圆的左、右焦点分别为、,过焦点的直线交椭圆于、两点,若的内切圆的面积为,则
参考答案:
4
17. 设实数x,y满足,则的最大值为 。
参考答案:
2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为2π.
(1)求ω的值;
(2)记△ABC内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若f(A﹣)=1,且a=b,求sinB的值.
参考答案:
考点:余弦函数的图象;正弦定理.
专题:三角函数的图像与性质.
分析:(1)由条件利用y=Asin(ωx+)的周期等于 T=,求得ω的值.
(2)由f(A﹣)=1,求得A的值,再利用a=b以及正弦定理求得sinB的值.
解答: 解:(1)∵函数f(x)=2cos(ωx+)(ω>0)的最小正周期为2π,
∴=2π,∴ω=1.
(2)∵f(A﹣)=2cos(A﹣+)=1,∴cosA=,A=,∴sinA=.
∵=,a=b,∴=,即 sinB=1.
点评:本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,y=Asin(ωx+)的周期等于 T=,属于基础题.
19. [选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+1|﹣|x|+a.
(1)若不等式f(x)≥0的解集为空集,求实数a的取值范围;
(2)若方程f(x)=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(1)由题意可得即 g(x)<﹣a恒成立,作出函数g(x)的图象,求得函数g(x)的最大值为g(x)max=1,可得﹣a>1,∴从而求得a的范围.
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象,由题意可知,把函数y=g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位),则它与y=x的图象始终有3个交点,从而得到a的范围.
【解答】解:(1)令g(x)=|x+1|﹣|x|,则由题意可得f(x)≥0的解集为?,即g(x)≥﹣a的解集为?,
即 g(x)<﹣a恒成立.
∵,作出函数g(x)的图象,
由图可知,函数g(x)的最小值为g(x)min=﹣1;函数g(x)的最大值为g(x)max=1.
∴﹣a>1,∴a<﹣1,
综上,实数a的取值范围为(﹣∞,﹣1).
(2)在同一坐标系内作出函数g(x)=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象如下图所示,由题意可知,
把函数y=g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y=x的图象始终有3个交点,
从而﹣1<a<0.
【点评】本题主要考查分段函数的应用,函数的恒成立问题,方程根的存在性以及个数判断,属于中档题.
20. [选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=|x+m|-|2x-2m|(m>0).
(1)当时,求不等式的解集;
(2)对于任意的实数x,存在实数t,使得不等式f(x)+|t-3|<|t+4|成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
解:因为m>0,所以
(1)当时,
所以由,可得或或,
解得或,
故原不等式的解集为.
(2)因为f(x)+|t-3|<|t+4|?f(x)<|t+4|-|t-3|,
令g(t)=|t+4|-|t-3|,则由题设可得f(x)max<g(t)max.
由得f(x)max=f(m)=2m.
因为-|(t+4)-(t-3)|≤|t+4|-|t-3|≤|(t+4)-(t-3)|,所以-7≤g(t)≤7,
故g(t)max=7,从而2m<7,即,
又已知m>0,故实数m的取值范围是.
21. 已知函数f(x)=.
(1)当时,求函数f(x)的取值范围;
(2)将f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求f(x)=sin(2x﹣),由,可求2x﹣∈[﹣,],根据正弦函数的图象和性质可求f(x)的取值范围.
(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=f(x+)=sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即可解得g(x)的单调递增区间.
【解答】解:(1)∵f(x)===sin(2x﹣),
∵时,2x﹣∈[﹣,],
∴sin(2x﹣)∈[﹣,1].
∴函数f(x)的取值范围为:[﹣,1]…6分
(2)∵g(x)=f(x+)=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+),
∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即可解得g(x)的单调递增区间为:[k,kπ+],k∈Z…12分
【点评】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,正弦函数的图象和性质,考查了三角函数恒等变换的应用,属于中档题.
22. (本小题满分15分)
已知函数
(I)当处的切线方程;
(II)当的单调性 ;
(III
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