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四川省巴中市南江县正直中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=,g(x)=ax,则方程g(x)=f(x)恰有两个不同的实根时,实数a的取值范围是( )(注:e为自然对数的底数)
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出f(x)与g(x)的函数图象,根据图象和交点个数判断a的范围.
【解答】解:作出f(x)与g(x)的函数图象,如图所示:
设直线y=ax与y=lnx相切,切点坐标为(x0,y0),
则,解得x0=e,y0=1,a=.
由图象可知当≤a<时,两图象有2个交点,
故选B.
2. 已知,,,…,依此规律,若,则a,b的值分别是( )
A.65,8 B.63,8 C.61,7 D.48,7
参考答案:
略
3. 把一段长为12的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. B.3 C. D.4
参考答案:
A
考点:三角形的面积公式.
专题:函数的性质及应用.
分析:设两段分别为x和12﹣x,其中0<x<12,可得面积之和S=(2x2﹣24x+144),由二次函数区间的最值可得.
解答: 解:设两段分别为x和12﹣x,其中0<x<12,
可得面积之和S=×()2+×()2
=(2x2﹣24x+144),
由二次函数可知当x=﹣=6时,上式取最小值2
故选:A
点评:本题考查最值问题,涉及二次函数区间的最值,属基础题.
4. 从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本,每次抽取一个个体是人以个体被抽到的概率_____________整个过程中个体a被抽到的概率
A、相等 B、前者大于后者 C、后者大于前者 D、不确定
参考答案:
A
5. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双
曲线的渐近线方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 已知条件, 条件 ,则是的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
7. 函数y=的值域是 ( )
A.[0,+∞) B.[0,2] C.[0,2) D.(0,2)
参考答案:
C
略
8. 已知集合A={1,a},B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z},若A∩B≠?,则a等于( )
A.2 B.3 C.2或4 D.2或3
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【分析】解不等式求出集合B,进而根据A∩B≠?,可得b值.
【解答】解:∵B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z}={2,3},集合A={1,a},
若A∩B≠?,则a=2或a=3,
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.
9. 如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.0
参考答案:
D
略
10. 下列关于棱柱的一些叙述正确的有( )
①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
A ①②; B ①③; C ②③; D ①②③
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 为考察药物A预防B疾病的效果,进行动物试验,得到如下药物效果试验的列联表:
患者
未患者
合计
服用药
10
45
55
没服用药
20
30
50
合计
30
75
105
经计算,随机变量,请利用下表和独立性检验的思想方法,估计有____
(用百分数表示)的把握认为“药物A与可预防疾病B有关系”。
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
;
略
12. 如图,在△ABC中,D为边BC上一点,,若AB=1,AC=2,则AD?BD的最大值为 .
参考答案:
【考点】相似三角形的性质.
【专题】计算题;选作题;方程思想;解三角形.
【分析】设BD=a,求出AD,再利用基本不等式,即可求出AD?BD的最大值.
【解答】解:设BD=a,则DC=2a,∴cosB==,
∴AD==,
∴AD?BD=a?=≤,
∴AD?BD的最大值为.
故答案为:.
【点评】本题考查余弦定理、基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
13. 右图是求函数值的程序框图,当输入值为2时,则输出值为_ ▲ .
参考答案:
-3
14. 用系统抽样方法要从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1-160编号,按编号的顺序平均分成20组,若第16组抽出的号码为123,则第2组中应抽出的个体的编号为 .
参考答案:
11
15. 不相等的正实数a、b、c成等差数列,c、a、b成等比数列,则a:b:c= 。
参考答案:
2:(-1):4
16. 管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘。10天后,又从池塘内捞出50条鱼,其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘内共有 条鱼。
参考答案:
750
17. 函数f(x)=x(1-x2)在[0,1]上的最大值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AB = 4,AD = 2,A1A = 2,点F是棱BC的中点,点E在棱C1D1上,且D1E = λ EC1(λ为实数).
(1)求二面角D1 - AC - D的余弦值;
(2)当λ =时,求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值的大小;
(3)求证:直线与直线不可能垂直.
参考答案:
(1)如图所示,建立空间直角坐标系.
则
,.
设平面的法向量为,
则.
即.令,则.
∴平面的一个法向量.
又平面的一个法向量为.
故,
即二面角的余弦值为.
(2)当λ =时,E(0,1,2),F(1,4,0),.
所以.
因为 ,所以为锐角,
从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为.
(3)假设,则.
∵,
∴,.
∴.化简得.
该方程无解,所以假设不成立,即直线不可能与直线不可能垂直.
19. 已知函数 .
(I)当时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ) 当时,函数在区间上存在实数,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案:
略
20. (本小题满分l2分)等差数列的前项和记为,已知;
(1)求数列的通项
(2)若,求
(3)令,求数列的前项和
参考答案:
解:(1)由,得方程组,
解得
(2)由得方程
解得或(舍去)
数列的前项和
略
21. (本小题满分16分)已知 命题p:指数函数f(x)=(2a-6)x在R上单调递减,
命题q:关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3.
若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
参考答案:
22. 已知椭圆的中心为直角坐标系的原点,焦点在轴上,它的一个顶点到两个
焦点的距离分别是7和1
(1)求椭圆的方程‘
(2)若为椭圆的动点,为过且垂直于轴的直线上的点,
(e为椭圆C的离心率),求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
参考答案:
解析:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{ 解得a=4,c=3, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以椭圆C的方程为
(Ⅱ)设M(x,y),P(x,),其中由已知得
而,故 ①
由点P在椭圆C上得
代入①式并化简得
所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段.
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