河南省洛阳市偃师第五高级中学2022年高一数学理月考试题含解析

河南省洛阳市偃师第五高级中学2022年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知在区间上是增函数，则的范围是（     ） A.            B.           C.           D. 参考答案： B 2. （3分）已知直线a?α，给出以下三个命题： ①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β； ②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β； ③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β． 其中正确的命题是（） A． ② B． ③ C． ①② D． ①③ 参考答案： D 考点： 平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定． 专题： 分析法． 分析： 对于①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确． 对于②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误． 对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案． 解答： 解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a?α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确． ②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a?α使直线a∥平面β．故错误． ③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确． 故选D． 点评： 此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目． 3. 在下列条件中，可判断平面与平面平行的是（   ） A．、都垂直于平面    B．内存在不共线的三点到平面的距离相等 C．是内两条直线，且 D．是两条异面直线，且 参考答案： D 4. 设a，m，n是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题： ①；②；③； ④；⑤；⑥. 其中为真命题的个数为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 根据课本的判定定理以及推论，和特殊的例子，可判断正误. 【详解】对于①，错误，n可以在平面内；对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；对于③根据课本推论知其结果正确；④直线m和n可以是异面的成任意夹角的两条直线；对于⑤根据课本线面垂直的判定定理得到其正确；对于⑥是错误的，当直线m与直线n,和平面平行并且和平面垂直，此时两条直线互相平行. 故答案为：B 【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，面面垂直，线面垂直的判定等，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断。还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断。 5. 设锐角q使关于x的方程有重根，则q的弧度数为   [  ] A．       B。    C。    D。 参考答案： 解析：因方程有重根，故   得 ，于是。  故选B。 6. 下列函数中,是偶函数又在区间上递增的函数为 A． B． C． D． 参考答案： C 7. 若函数f（x）=a﹣x（a＞0，a≠1）是定义域为R的增函数，则函数f（x）=loga（x+1）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质． 【专题】数形结合． 【分析】先由条件得a的取值范围，再结合对数函数的单调性及定义域来判断函数f（x）=loga（x+1）的图象大致位置即可． 【解答】解：∵f（x）=a﹣x（a＞0，a≠1）， ∴f（x）=， ∵定义域为R的增函数， ∴， ∴0＜a＜1， ∴函数f（x）=loga（x+1）是定义域为（﹣1，+∞）的减函数， 故选D． 【点评】本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点、对数函数的图象，判断时要注意定义域优先的原则． 8. 在△中，若，则等于                         （    ） A．        B．      C．           D．   参考答案： D 略 9. 已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是 A.            B.            C.            D. 参考答案： A 10. 数列中，有序实数对（a，b）可以是（   ） （A）（4,11）   （B）（11,4）  （C）   （D）  参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为　　． 参考答案： [，π] 【考点】余弦函数的图象． 【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质． 【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间． 【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣， 函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π， 求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z． 再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]， 故答案为：[，π]． 【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题． 12. 计算下列各式的值    （1）          （2） 参考答案：    （1）          =   =4 （2）     = ==2+lg5+lg2=3   略 13. （5分）设，是两个不共线的向量，已知向量=2+tan，=﹣，=2﹣，若A，B，D三点共线，则=     ． 参考答案： 0 考点： 平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值；平面向量及应用． 分析： 若A，B，D三点共线，可设=，由条件可得tan，再将所求式子分子分母同除以cosα，得到正切的式子，代入计算即可得到． 解答： 若A，B，D三点共线， 可设=，即有=λ（﹣）， 即有2+tan=λ（2﹣﹣+）=λ（+）， 则有λ=2，tanα=，可得tan， 则===0． 故答案为：0． 点评： 本题考查平面向量的共线定理的运用，同时考查同角三角函数的基本关系式的运用，考查运算能力，属于基础题． 14. .设，为单位向量，其中，，且在方向上的射影数量为2，则与的夹角是___． 参考答案： 【分析】 利用在方向上的射影数量为2可得：，即可整理得：， 问题得解. 【详解】因为在方向上的射影数量为2， 所以，整理得： 又，为单位向量， 所以. 设与的夹角，则 所以与的夹角是 【点睛】本题主要考查了向量射影的概念及方程思想，还考查了平面向量夹角公式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题. 15. lg+2lg2﹣（）﹣1=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值． 【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1． 16. 圆x2+y2﹣2x﹣2y=0上的点到直线x+y﹣8=0的距离的最小值是　　． 参考答案： 2 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离． 【解答】解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2， 所以圆心A（1，1），圆的半径r=， 则圆心A到直线x+y﹣8=0的距离d==3， 所以动点Q到直线距离的最小值为3﹣=2． 故答案为：2． 【点评】此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置． 17. 设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩CRN=     ． 参考答案： {x|b＜x≤} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，进而可得 CRN，由交集的意义，分析可得答案． 【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a， 由基本不等式可得，＞， 由补集的运算可得 CRN={x|x≤或x≥a}， 由交集的意义，可得M∩CRN={x|b＜x≤}． 【点评】本题考查集合间的混合运算，注意由不等式的性质，分析出集合间的关系，再来求解． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程． 参考答案： 解：由已知，，解得，则两直线交点为 直线2x+3y+5=0的斜率为，则所求直线的斜率为 故所求直线的方程为即 19. 已知方程x2+y2－2x－4y+m=0 (1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围； (2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON (O为坐标原点)，求m的值； (3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程． 参考答案： 解：(1)由D2＋E2－4F＞0得(－2)2＋(－4)2－4m＞0，解得m＜5. …………………………2分 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0（或x2－2x－4+m=0）， ∴y1＋y2＝，y1y2＝.  (或x1+x2=，x1·x2=)  …………………………………4分 ∵OM⊥ON，∴ ＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.            …………………………………5分 ∵x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2， ∴x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0， 解得m＝.                                         …………………………………7分 (3)设圆心C的坐标为(a，b)，则 a＝(x1＋x2)＝，b＝ (y1＋y2)＝，                  …………………………………8分 半径r＝|OC|＝，            …………………………………9分 ∴所求圆的方程为(x－)2+(y－)2=.            …………10分 20. 已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前项和为，且是与的等差中项． （1）求数列的通项公式． （2）设，数列满足，．求数列的前项和． （3）在（2）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，，恒有成立，且（为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由． 参考答案： 见解析 （1）依题意得，故． 又，即， 所以，当时，． 又也适合上式， 故． （2）因为， ，因