四川省南充市立山中学高三数学理模拟试卷含解析

四川省南充市立山中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y2= 2x的准线方程是（    ） A．y=    B．y=－   C．x=    D．x=－ 参考答案： D 试题分析：，，准线方程为，选D. 考点：抛物线的性质.   2. 已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（　　） A． B． C．2 D．2 参考答案： C 【考点】圆的切线方程． 【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可． 【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1， ∴圆心C（0，1），半径r=1． 根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时， 即距离为圆心到直线l的距离最小时， 切线长PA，PB最小．切线长为2， ∴PA=PB=2， ∴圆心到直线l的距离为d=．直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0， ∴=，解得k=±2， ∵k＞0，∴所求直线的斜率为：2． 故选C． 3. 已知函数,若,则与的大小关系是(       ) A.    B.    C.   D.与的值有关 参考答案： 答案：C 4. 秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一，秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为（　　） A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0.7 D．﹣0.71 参考答案： C 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，即可得出结论． 【解答】解：x=﹣1，f（﹣1）=﹣1＜0，c＞d，x=﹣1+1=0， 第二次循环，x=0，f（0）=1＞0，x=0﹣1=﹣1，c=0.1=d，x=﹣0.9 第3次循环，x=﹣0.9，f（﹣0.9）＜0，x=﹣0.8， 第3次循环，x=﹣0.8，f（﹣0.8）＜0，x=﹣0.7， 第4次循环，x=﹣0.7，f（﹣0.7）＜0，x=﹣0.6， 第5次循环，x=﹣0.6，f（﹣0.6）＞0，x=﹣0.7，c=0.01＜d 停止循环，输出﹣0.7， 故选C． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 5. 已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的 （A）充分而不必要条件     （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件         （D）既不充分也不必要条件 参考答案： B 考点：充分条件与必要条件 当时，，当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B 6. 过抛物线焦点的直线交该抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则   A. 14        B．12         C.l0         D.8 参考答案： B 7. 在直角坐标系中，如果不同两点A(a，b)，B(—a一b)都在函数y=h(x)的图象上， 那么称[A，B]为函数h(x)的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组).已知定义在上的函数f(x)满足f(x+2)= f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)=sinx.则函数的“友好点”的组数为 (A) 4 (B)5 (C)6 (D)7 参考答案： A 略 8. 函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为(     ) A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．R 参考答案： C 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用． 【分析】由分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案． 【解答】解：由，解得x＞﹣1且x≠1． ∴函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题． 9. 已知双曲线的两个焦点分别为、，则满足△的周长为的动点的轨迹方程为 （    ） A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 10. 若实数a，b满足a＞b，则下列不等式成立的是 （A）                           （B） （C）                             （D） 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=3b2+3c2﹣2bcsinA，则C=　　． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】利用余弦定理与不等式结合的思想求解a，b，c的关系．即可求解C的值． 【解答】解：根据a2=3b2+3c2﹣2bcsinA…① 余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA…② 由①﹣②可得：2b2+c2=2bcsinA﹣2bccosA 化简：b2+c2=bcsinA﹣bccosA ?b2+c2=2bcsin（A） ∵b2+c2≥2bc， ∴sin（A）=1 ∴A=， 此时b2+c2=2bc， 故得b=c，即B=C， ∴C==． 故答案为：． 　 12. 已知函数, 则_____ 参考答案： 13. 某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如下图，据此可以了解分数在的频率为          ，并且推算全班人数为          。 参考答案：    25   略 14. 已知tanβ=，sin（α+β）=，且α，β∈（0，π），则sinα的值为       ． 参考答案： 考点：两角和与差的正弦函数． 专题：三角函数的求值． 分析：求得sinβ和cosβ的值，根据已知条件判断出α+β的范围，进而求得cos（α+β）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案． 解答： 解：∵α，β∈（0，π），tanβ=，sin（α+β）=， ∴sinβ=，cosβ=，0＜β＜， ∴0＜α+β＜， ∵0＜sin（α+β）=＜， ∴0＜α+β＜，或＜α+β＜π， ∵tanβ=＞1， ∴＞β＞， ∴＜α+β＜π， ∴cos（α+β）=﹣=﹣， ∴sinα=sin（α+β﹣β）=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ=×+×=． 故答案为：． 点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．解题过程中判断出α+β的范围是解题的最重要的一步． 15. 在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______． 参考答案： 【分析】 根据平面向量定理，表示出，然后把转化到，利用，得到用和表示的式子，得到和的值. 【详解】在中，为中点，所以， 为中点，所以 所以 即， 所以 而 所以 故   16. 已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是____▲ _______． 参考答案： 17. 已知变量满足约束条件，则的最大值是    ． 参考答案： 9 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图：三棱锥中，^底面，若底面是边长为2的正三角形，且与底面所成的角为，若是的中点，求： （1）三棱锥的体积； （2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.   参考答案： 解：（1）因为底面，与底面所成的角为， 所以                  ……………………2分    因为，所以       ……………………4分    ……………6分 （2）连接，取的中点，记为，连接，则  所以为异面直线与所成的角或其补角 （或直线和所成角等于异面直线与所成的角）…………8分  计算可得：，，     ……………………10分                     ……………………11分  异面直线与所成的角为．         ……………………12分   19. （12分） 设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性； （2）求的最小值。 参考答案： 解析：（I）当时，函数 此时，为偶函数 当时，，， ， 此时既不是奇函数，也不是偶函数 （II）（i）当时， 当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为． 若，则函数在上的最小值为，且． （ii）当时，函数 若，则函数在上的最小值为，且 若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为． 综上，当时，函数的最小值为 当时，函数的最小值为 当时，函数的最小值为． 20. 已知函数. （1）讨论函数（）的单调性； （2）若时，对恒成立，求的取值范围. 参考答案： （1）， 当时，，∴在上单调递增. 当时，，故当或时，在上单调递增. 当时，令，得或； 令，得. ∴在上单调递减，在，上单调递增. （2）设.则， 当时，，若，，则，∴在上单调递增，从而.此时，在上恒成立. 若，令，当时，；‘ 当时，.∴， 则不合题意. 故的取值范围为. 21. 已知函数满足，其中， (1）对于函数，当时，，求实数的集合； (2）当时，的值恒为负数，求的取值范围. 参考答案： 令，则.     因为 所以是R上的奇函数；  当时，，是增函数，是增函数 所以是R上的增函数； 当时，是减函数，是减函数 所以是R上的增函数； 综上所述，且时，是R上的增函数。  (1）由有                解得      (2）因为是R上的增函数，所以也是R上的增函数 由得所以 要使的值恒为负数，只需， 即        解得 又，所以的取值范围是或1<  22. △ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足. （Ⅰ）已知，，求与b的值； （Ⅱ）若，且，求. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）先由化简整理得到，求出，再由求出，根据求出，再由正弦定理，即可求出结果； （Ⅱ）先由结合题中条件，求出，再由展开，即可求出结果. 【详解】（Ⅰ）由得 ， 故，因为，且， 所以，所以. 因为，，所以 因此 ， 由正弦定理知：，即. （Ⅱ）因为，所以，又， 所以， 所以 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、两角和与差的正弦公式等即可，属于常考题型.