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内蒙古自治区赤峰市平庄矿区中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 的展开式中的系数是( )
A.20 B.40 C.80 D.160
参考答案:
解法1设含的为第,则,令,得,故展开式中的系数为。
解法2根据二项展开式的通过公式的特点:二项展开式每一项中所含的与2分得的次数和为6,则根据条件满足条件的项按3与3分配即可,则展开式中的系数为。
2. 已知,把数列的各项排列成如下的三角形状,
记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,11)= ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
略
3. 设奇函数在上是增函数,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 已知矩形ABCD中,,,E,F分别是AB,CD上两动点,且,把四边形BCFE沿EF折起,使平面BCFE⊥平面ABCD,若折得的几何体的体积最大,则该几何体外接球的体积为( )
A.28π B. C.32π D.
参考答案:
A
5. 下列选项中,说法正确的是 A.命题“若,则”的逆命题是真命题;( )
B.命题“”的否定是“”;
C.命题“”为真命题,则命题均为真命题;
D. 设是向量,命题“若”的否命题是真命题.
参考答案:
B
略
6. 已知,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
7. 已知函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),则函数g(x)=cos(2x﹣φ)的图象( )
A.关于点(,0)对称
B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到
C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
参考答案:
C
【考点】余弦函数的对称性.
【分析】由条件利用诱导公式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)=2sinxsin(x+3φ)是奇函数,其中φ∈(0,),∴φ=,
∴f(x)=2sinxsin(x+)=sin2x=cos(2x﹣)=cos2(x﹣),
则函数g(x)=cos(2x﹣φ)=cos(2x﹣)=cos2(x﹣) 的图象可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到的,
故选:C.
8. 已知,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 在四面体中,平面平面,则该四面体外接球的表面积为()
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. (00全国卷)一个长方体共一项点的三个面的面积分别是,,,这个长方体对角线的长是
(A)2 (B)3 (C) (D)6
参考答案:
答案:C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线的一条渐近线方程为则椭圆的离心率
参考答案:
略
12. 如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥,则此正六棱锥的侧面积是__ ______.
参考答案:
答案:
13. 在直角坐标系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的参数方程为(为参数,),则C1与C2有 个不同公共点.
参考答案:
1个
14. 已知A,B是圆C(为圆心)上的两点,||=2,则?= .
参考答案:
2
考点:
向量数乘的运算及其几何意义.
专题:
计算题.
分析:
由圆的性质得出cos∠CAD==,由数量积的定义可得答案.
解答:
解:如图所示:在直角三角形ACD中,
cos∠CAD==,而?=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2.
故答案为:2
点评:
本题考查数量积的求解,涉及圆的知识和数量积的定义,属基础题.
15. 已知向量且则的值是____________
参考答案:
略
16. 若函数存在与直线平行的切线,则实数的取值范围
是 ▲ .
参考答案:
17. 方程的根称为函数的零点,定义在上的函数,其导函数的图像如图所示,且,则函数的零点个数是
.
参考答案:
3
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围.
参考答案:
(I)(II)
【分析】
(I)讨论的范围,去绝对值符号,解不等式;
(II)求出的最小值,令最小值大于零即可得出的范围.
【详解】解:(I)由已知不等式,得,
当时,不等式为,解得,所以;
当时,不等式为,解得,所以;
当时,不等式为,解得,此时无解.
综上:不等式的解集为.
(II)若的定义域为,则恒成立.
∵,当且仅当时取等号.
∴,即.
所以实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,属于中档题.
19. 在直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACB=90°,
E、F分别是BC、的中点。
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正切值。
参考答案:
(1)证:取CC1的中点M,连接ME,MF,则ME∥BC1,MF∥A1C1,
所以平面MEF∥平面A1C1B,又EF平面MEF,EF∥平面A1C1B7分
(也可以用线面平行的方法来求证)
(2)解;过E做AB的垂线,交AB于点H,连接HF,则∠EFH即为所求之线面角。10分
,14分
略
20. 设集合A={x∈Z|x2<4},B={x|x>﹣1},则A∩B=( )
A. {0,1} B. {﹣1,0} C. {﹣1,0,1} D. {0,1,2}
参考答案:
A
21. (本小题满分12分)
已知首项为,公比不等于的等比数列的前项和为(),且,,成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,数列的前项和为,求并比较与大小.
参考答案:
【知识点】等差数列;等比数列;数列求和. D2 D3 D4
【答案解析】(Ⅰ);(Ⅱ) ,<6.
解析:(Ⅰ)由题意得,即,
亦即,,所以公比, ………4分
于是数列通项公式为. ……5分
另解:由题意得,,
,
化简得,, ……………4分
. ………………………5分
(Ⅱ),
所以 ,----- ①
, ② …………8分
①②得,,
所以 , ………………11分
从而 . .…………12分
【思路点拨】(Ⅰ)根据等比数列的前n项和公式及等差数列的定义,求得等比数列的公比,
从而写出等比数列的通项公式;(Ⅱ)由错位相减法,求数列的前项和为,代入,再与6比较大小.
22. 已知函数
(1)求函数单调递增区间;
(2)若存在,使得是自然对数的底数),求实数的取值范围.
参考答案:
解:⑴.
,所以在上是增函数,
又,所以不等式的解集为,
故函数的单调增区间为.
⑶因为存在,使得成立,
而当时,,
所以只要即可.
又因为,,的变化情况如下表所示:
减函数
极小值
增函数
所以在上是减函数,在上是增函数,所以当时,的最小值
,的最大值为和中的最大值.
因为,
令,因为,
所以在上是增函数.
而,故当时,,即;
所以,当时,,即,函数在上是增函数,解得;
略
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