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2022年江苏省南通市濠河中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. PA、PB、PC是从P点引出的三条射线,每两条的夹角为60°,则直线PC与平面APB所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 函数在上的最大值是( ▲ )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
略
3. 某同学要用三条长度分别为3,5,7的线段画出一个三角形,则他将( ).
A.画不出任何满足要求的三角形 B.画出一个锐角三角形
C.画出一个直角三角形 D.画出一个钝角三角形
参考答案:
D
4. 若,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
利用赋值法,分别令与,代入式子后两式相加即可求得.
【详解】令,代入可得 ①
令,代入可得 ②
由①+②得
所以
故选:D
【点睛】本题考查了赋值法在二项式定理中的应用,偶项系数和的求法,属于基础题.
5. 如果函数的导函数是偶函数,则曲线在原点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:,因为函数的导数是偶函数,所以满足,即,,,所以在原点处的切线方程为,即,故选A.
考点:导数的几何意义
6. 已知实数x、y满足 则z=2x+y的最小值是
A.-3 B. 2 C.0 D.1
参考答案:
B
7. 下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°
B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
C.某校高三共有10个班,1班有51人,2班有53人,三班有52人,由此推测各班都超过50人
D.在数列{an}中,a1=1,an=(an﹣1+)(n≥2),计算a2、a3,a4,由此猜测通项an
参考答案:
A
【考点】演绎推理的基本方法.
【分析】由推理的基本形式,逐个选项验证可得.
【解答】解:选项A为三段论的形式,属于演绎推理;
选项B为类比推理;选项C不符合推理的形式;
选项D为归纳推理.
故选:A
8. 给定两个命题p、q,若是的必要而不充分条件,则是的( )
A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
9. 已知表示两个不同的平面,为平面内的一条直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
参考答案:
B
略
10. 已知p:?m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解,q:?x0∈N,;则下列选项中是假命题的为( )
A.p∧q B.p∧(¬q) C.p∨q D.p∨(¬q)
参考答案:
B
【考点】复合命题的真假.
【分析】对于m命题p:方程x2﹣mx﹣1=0,则△=m2+4>0,即可判断出命题p的真假.对于命题q:由x2﹣x﹣1≤0,解得≤x≤,即可判断出命题q的真假.
【解答】解:对于m命题p:方程x2﹣mx﹣1=0,则△=m2+4>0,因此:?m∈R,x2﹣mx﹣1=0有解,可得:命题p是真命题.
对于命题q:由x2﹣x﹣1≤0,解得≤x≤,因此存在x=0,1∈N,使得x2﹣x﹣1≤0成立,因此是真命题.
∴下列选项中是假命题的为p∧(¬q),
故选:B.
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在三棱椎P-ABC中,底面ABC是等边三角形,侧面PAB是直角三角形,且,,则该三棱椎外接球的表面积为__________.
参考答案:
12π
由于PA=PB,CA=CB,PA⊥AC,则PB⊥CB,因此取PC中点O,则有OP=OC=OA=OB,即O三棱锥P-ABC外接球球心,又由PA=PB=2,得AC=AB=,所以PC=,所以.
点睛:多面体外接球,关键是确定球心位置,通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径,寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形,利用勾股定理求出半径,如果图形中有直角三角形,则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心.
12. 利用计算机随机模拟方法计算与所围成的区域的面积时,可以先运行以下算法步骤:
第一步:利用计算机产生两个在0~1区间内的均匀随机数
第二步:对随机数实施变换:得到点
第三步:判断点的坐标是否满足
第四步:累计所产生的点的个数,及满足的点A的个数
第五步:判断是否小于(一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出并终止算法.
(1)点落在上方的概率计算公式是 ;
(2)若设定的,且输出的,则用随机模拟方法可以估计出区域的面积为 (保留小数点后两位数字).
参考答案:
, 35.64
13. 已知,设命题函数为减函数.命题当时,函数恒成立.如果“”为真命题,“”为假命题,则的取值范围是________.
参考答案:
若命题函数为减函数为真,则;
又命题当时,函数恒为真,则,则,
因为为真命题,为假命题,所以,中一真一假,
若真假时,则,若假真时,则,
所以实数的取值范围是.
14. 直线和圆交于两点,
则的中点坐标为 .
参考答案:
15. 命题“”的否定是 .
参考答案:
16. 我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军!在一次比赛中,需把包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组(一组3个队,一组4个队)进行小组预赛,则我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率为 .
参考答案:
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】先求出基本事件总数n=,再求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数m=,由此能求出我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率.
【解答】解:包括我校篮球队在内的7个篮球队随机地分成两个小组(一组3个队,一组4个队)进行小组预赛,
基本事件总数n=,
我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组包含的基本事件个数为:
m=,
∴我校篮球队和另6个队中实力最强的队分在同一小组的概率:
p===.
故答案为:.
17. 一个家庭中有两个小孩,则两个小孩都是女孩的概率为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 无论为任何实数,直线与双曲线恒有公共点。
(1)求双曲线的离心率的取值范围;
(2)若直线经过双曲线的右焦点与双曲线交于两点,并且满足
,求双曲线的方程。
参考答案:
19. (本题满分10分)已知曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是(为参数).
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.
参考答案:
(1)曲线的极坐标方程可化为
…………………………………………………………………… 2分
又,
所以曲线的直角坐标方程为…………4分
(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得… ……… 6分
令,得,即点的坐标为(2,0).
又曲线为圆,圆的圆心坐标为(1,0),半径,则… ……… 8分
所以…………………………………………………… 10分
20. (本小题满分12分)已知函数在与时都取得极值.
(I)求a,b的值及函数的单调区间;
(II)若对,不等式恒成立,求c的取值范围.
参考答案:
(I)f(x)=x3+ax2+bx+c,f¢(x)=3x2+2ax+b-------------------------1分
由f¢()=,f¢(1)=3+2a+b=0得a=,b=-2
---------------------4分
f¢(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:
x
(-¥,)
(,1)
1
(1,+¥)
f¢(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-
极大值
ˉ
极小值
-
所以函数f(x)的递增区间是(-¥,)与(1,+¥).递减区间是(,1)
-------------------8分
(II)f(x)=x3x2-2x+c,x?[-1,2],当x=时,f(x)=+c
为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值. -----------------------10分
要使f(x)f(2)=2+c 解得c<-1或c>2
----------------------12分
21. (14分)如图,四棱锥中,点在线段上。
(2)若求四棱锥的体积
参考答案:
略
22. 如图,在四棱锥P - ABCD中,PD⊥底面ABCD,AC和BD交于点O,AB∥DC,,AD⊥CD,E为棱PD上一点.
(Ⅰ)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)若PB∥面AEC,AD=AB=2,PD=3,求三棱锥E-ADC体积.
参考答案:
(1) PD⊥底面ABCD, ABCD
⊥....................2分
又 AD⊥CD ,则 ⊥面.......4分
又 PAD CD⊥AE....................5分
(2)由和交于点O,AB∥DC
所以和相似,相似比为1:2.则............7分
因为若面
当为的三等分点时,有,即....................9分
....................12分
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