广东省揭阳市第二中学高三数学理期末试题含解析

广东省揭阳市第二中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，己知函数的图像关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 抓住奇函数的判定性质，代入，即可。 【详解】根据关于原点对称可知该函数为奇函数, 对于A选项,为偶函数,不符合; 对于B选项定义域不对; 对于C选项当x>0的时候，恒成立不符合该函数图像，故错误； 对于D选项，，符合判定，故选D。 【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住，即可，难度中等。 2. 若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是(　　) A．1  B．－1     C.    D．－[Z 参考答案： B 3. 若，且，则=（    ）    A．            B．         C．            D．－ 参考答案： 答案：B 4. 已知，集合，则 （A）                             （B） （C）                             （D） 参考答案： C 因为A={x|x＜-2或x＞2}，所以，故选C. 5. （多选题）已知向量，，，设的夹角为，则（    ） A B. C. D. 参考答案： BD 【分析】 根据题意，求出的坐标，据此分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，，，则，， 依次分析选项： 对于，，，则不成立，错误； 对于，，，则，即，正确； 对于，，，不成立，错误； 对于，，，则，，，则，则，正确； 故选：BD． 【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 6. 已知复数，，则等于                 (   ) A. 8         B.          C.      D. 参考答案： C 7. “”是“直线和直线平行”（  ）      A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件    C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 略 8. 三棱柱的侧棱与底而垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正(主)视图(如图所示)的面积为8，则侧(左)视图的面积为   (A)8    (B)4    (C) 4   (D) 参考答案： C 略 9. 已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（　　） A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值． 【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i， 故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 10. x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为(     ) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 参考答案： D 【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】计算题；新定义． 【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案． 【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]， ∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x）， ∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数． 故选：D． 【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设向量，，若，则实数________. 参考答案： 12. 已知双曲线的一条渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为     参考答案： 略 13. 已知函数 (a是常数且a>0)．对于下列命题： ①函数f(x)的最小值是－1； ②函数f(x)在R上是单调函数； ③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1； ④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号) 参考答案： ①③④ 14. 设命题，函数有零点，则             . 参考答案： ，函数没有零点 试题分析：全称命题的否定，把全称量词写成存在量词，同时把结论否定；故：，函数没有零点 考点：含有量词的命题的否定 15. 已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是  参考答案： 16. 在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想在空间中有                                                 . 参考答案： 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 略 17. 已知点是球表面上的四个点，且两两成角，，则球的表面积为      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程. （Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系； （Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围． 参考答案： (Ⅰ)直线 的普通方程为 曲线的直角坐标系下的方程为 圆心到直线的距离为 所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分 (Ⅱ)设， 则.……………10分 19. [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m，解关于x的不等式|x+l|﹣2x＜m． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】根据基本不等式的性质求出m的值，从而解不等式即可． 【解答】解：因为a，b，c＞0， 所以 =， 当且仅当时，取“=”， 所以m=18．…（6分） 所以不等式|x+1|﹣2x＜m即|x+1|＜2x+18， 所以﹣2x﹣18＜x+1＜2x+18，解得， 所以原不等式的解集为．…（10分） 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查解不等式问题，是一道基础题． 20. 某种出口产品的关税税率t，市场价格x（单位：千元）与市场供应量p（单位：万件）之间近似满足关系式：，其中k、b均为常数.当关税税率为75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；当关税税率为75%时，若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件. （1）试确定k、b的值； （2）市场需求量q（单位：万件）与市场价格x近似满足关系式：.当时，市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值. 参考答案： （1）.（2）当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500﹪. 【分析】 （1）根据“关系式：p=2（1﹣kt）（x﹣b）2，及市场价格为5千元，则市场供应量均为1万件；市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件”，可得到从而求得结果； （2）当p=q时，可得2（1﹣t）（x﹣5）2=2﹣x，可求得t=1+=1+，由f（x）=x+在（0，4]上单调递减，可知当x=4时，f（x）有最小值． 【详解】（1）由已知得，若， 当时，，当时，． 所以有， 解得. （2）由于，则， 当p=q时，,所以， 所以，， 设， 则 == = =， 由于， 则，，， 所以，所以， 所以在区间上是增函数， 所以当时，取得最大值，为5, 即当市场平衡价格为4千元时，关税税率的最大值为500﹪. 【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双勾函数最值的求法． 21. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P－ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E，F分别是AB，BC的中点。 （1）求证：PF⊥FD； （2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD； （3）若PB与平面ABCD所成的角为45°， 求二面角A－PD－F的余弦值。 参考答案： （1）连接AF，则AF＝，DF＝， 又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．                 ……………2分 又PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD∴DF⊥PA，             ……………3分 又PA∩AF＝A，             ……………4分 （2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH＝AD．………………5分 再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，    ………………6分 ∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．                     ………………7分 从而满足AG＝AP的点G为所求．                       ………………8分     （3）建立如图所示的空间直角坐标系，因为PA⊥平面ABCD ，     所以是与平面所成的角． 又由已知可得，所以，   所以．……9分 设平面的法向量为，由得， 令，解得：，所以．      ……10分 又因为，所以是平面的法向量，……11分 所以． 由图知，二面角的余弦值为．    ……………………12分 22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图所示,为圆的切线,为切点,，的角平分线与和圆分别交于点和. （1）求证    （2）求的值. 参考答案： （1）∵ 为圆的切线, 又为公共角, .   ……………………4分       （2）∵为圆的切线,是过点的割线, 又∵ 又由（1）知, 连接,则 ，则， ∴.             ------10分