河南省信阳市马畈高级中学高三数学理期末试卷含解析

河南省信阳市马畈高级中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列， “”是“”成立的（） （A）充分非必要条件                  （B）必要非充分条件 （C）充要条件                        （D）既非充分又非必要条件 参考答案： A 2. 复数（是虚数单位）的虚部为 A．          B．                C．           D． 参考答案： C    3. 若一次函数 A.         B. C.        D. 参考答案： B 略 4. 已知复数，则的虚部为（    ） A、                  B、                C、                D、 参考答案： D 5. 已知向量，，若，则向量与的夹角为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： D 6. (8) 设函数. 若实数a, b满足, 则 (A) (B) (C) (D) 参考答案： A 7.  将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是(    )    A．y=2cos2(x+)         B．y=2sin2(x+) C．y=2-sin(2x-)        D．y=cos2x 参考答案： C 8. 若，，，则实数a，b，c的大小关系为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 先求出a,b,c的范围，再比较大小即得解. 【详解】由题得 ， ， 所以a>b>c. 故选：A 【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9. 若圆锥的主视图(正视图)是一个边长为的等边三角形,则该圆锥的表面积为（  ）. A.               B.            C.             D. 参考答案： B 略 10. 若复数满足(为虚数单位)，则 A．     B．       C．       D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=　    　． 参考答案： 2014 【考点】F3：类比推理． 【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值． 【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3， 由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=， f（x0）=1， 则（，1）为f（x）的对称中心，由于， 则f（）+f（）=2f（）=2， 则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014． 故答案为：2014． 12. 已知直角梯形中，//,,,          是腰上的动点，则的最小值为____________ 参考答案： 5 本题考查了向量模的运算，考查了在动态环境中最值的求法，考查了二次函数的最值问题，难度较大。 以边和DC边分别作为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设直角腰DC长为m，则 ，, 则，   则，故. 13. 已知函数f（x）=ln（，若实数a，b满足f（a﹣1）+f（b）=0，则a+b等于　   　． 参考答案： 1 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断． 【分析】根据题意，分析有f（﹣x）=﹣f（x）成立，则可得f（x）为奇函数，观察可知f（x）为增函数，所以f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b），即a﹣1=﹣b成立，对其变形可得答案． 【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称， 又f（﹣x）=ln（﹣x）=ln =﹣ln（）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数， 观察知函数f（x）单调递增， 所以f（a﹣1）+f（b）=0，可化为f（a﹣1）=﹣f（b）=f（﹣b）， 有a﹣1=﹣b，所以a+b=1． 故答案为：1． 14. 若抛物线y=2px2（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2=1的一个焦点，则p=　　． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标，对于抛物线y=2px2，先将其方程变形为标准方程x2=y，用p表示其准线方程，结合题意可得﹣=﹣，解可得p的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣x2=1， 则其焦点在y轴上，且c==， 则其焦点坐标为（0，±）， 抛物线y=2px2的标准方程为：x2=y， 若p＞0，则其焦点在y轴正半轴上， 则其准线方程为y=﹣， 又由抛物线y=2px2（p＞0）的准线经过双曲线y2﹣x2=1的一个焦点， 则有﹣=﹣，解可得p=； 故答案为：． 15. 已知x＞0，y＞0，a=x+y，，，若存在正数m使得对于任意正数x，y，可使a，b，c为三角形的三边构成三角形，则m的取值范围是　   　． 参考答案： （2﹣，2+） 【考点】3H：函数的最值及其几何意义． 【分析】首先判断a＞b，由构成三角形的条件可得b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性，可得最值，进而得到m的范围． 【解答】解：x＞0，y＞0，a=x+y，，， 由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0， 可得a＞b， 由题意可得要构成三角形，必须 b+c＞a且a+b＞c， 即有+m＞x+y 且x+y+＞m． 由m＜， ≥=2+， 当且仅当x=y取得等号． 可得m＜2+① 由m＞， =+﹣， 令u=，则上式为u+﹣． 可令t=u+（t≥2），可得上式为t﹣=， 可得在[2，+∞）递减，可得t﹣≤2﹣， 即有m＞2﹣② 由①②可得m的取值范围是（2﹣，2+）． 故答案为：（2﹣，2+）． 16. 对于实数表示不超过的最大整数，观察下列等式： 参考答案： 17. 已知函数在处取得极值，且函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为         . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题12分）在某高校自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； (2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分； (3)已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A. 在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率.   参考答案： (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有人···············································2分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为， ······················4分 （2）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 ···························7分 （3）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A， 设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为 {甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁},有6个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则. 12分 19. 已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数． （1）求的值； （2）设的三边长、、满足，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域． 参考答案： （1），依题意有         即   的最小正整数值为2       ……………5分 （2）  又        即          即  ……………8分           …………………………10分 故函数的值域是      …………………………12分 略 20. 已知x=1是f(x)=2x++lnx的一个极值点 （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间； （Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由． 参考答案： 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b． （II）由f′（x）=2﹣+＜0，得，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间． （III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），故2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切． 【解答】解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极值点， f′（x）=2﹣+， ∴f′（1）=0，即2﹣b+1=0， ∴b=3，经检验，适合题意， ∴b=3． （II）由f′（x）=2﹣+＜0， 得，∴﹣， 又∵x＞0（定义域）， ∴函数的单调减区间为（0，1]． （III）g（x）=f（x）﹣=2x+lnx， 设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0）， ∴， 即2x0+lnx0﹣5=（2+）（x0﹣2）， ∴lnx0+﹣5=（2+）（x0﹣2）， ∴lnx0+﹣2=0， 令h（x）=lnx+， ，∴x=2． ∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， ∵h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e2）=＞0， ∴h（x）与x轴有两个交点， ∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切． 21. （本小题满分10分）选修4-5  不等式选讲   已知函数，若关于的不等式的整数接有且仅有一个值为。 （1）求整数m的值； （2）若函数的图象恒在函数的上方，求实数a的取值范围。 参考答案： （1）6；（2）． （1）由，即，，所以．……2分 不等式的整数解为－3，则，解得． 又不等式仅有一个整数解－3，∴．……………………4分 （2）因为的图象恒在函数的上方，故， 所以对任意恒成立．……………………5分 设，则 ……………7分 作出图象得出当时，取得最小值4， 故时，函数的图象恒在函数的上方， 即实数的取值范围是．……………………10