湖南省娄底市冷水江沙塘湾中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

湖南省娄底市冷水江沙塘湾中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 要得到函数的图象，可以将函数y=3sin2x的图象（　　） 　 A． 沿x轴向左平移单位 B． 沿x轴向右平移单位 　 C． 沿x轴向左平移单位 D． 沿x轴向右平移单位 参考答案： A 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3794729 专题： 计算题． 分析： 利用三角函数的恒等变换化简函数y 的解析式为3sin[2（x+）]，将函数y=3sin2x的图象沿x轴向左平移单位可得 y=3sin[2（x+）]的图象． 解答： 解：∵函数=3sin[﹣2x+]=3sin（﹣2x） =﹣3sin（2x﹣）=3sin（2x﹣+π）=3sin（2x+）=3sin[2（x+）]， 将函数y=3sin2x的图象沿x轴向左平移单位可得 y=3sin[2（x+]的图象， 故选A． 点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换以及函数y=Asin（ωx+?）的图象变换，属于中档题． 2. 已知，则的大小关系为（     ）    A.       B.          C.        D .  参考答案： A 略 3. 集合，中的角所表示的范围（阴影部分）是 参考答案： C 4. 已知双曲线的离心率为，则椭圆=1的离心率是 A．                         B．                       C．                      D． 参考答案： C 5. 已知z=，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： C 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【解答】解： ==+i， ∴复数=﹣i在复平面对应的点位于第三象限． 故选：C． 6. 下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（　　） A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x| C．f（x）=|x| D．f（x）=﹣x 参考答案： A 【考点】抽象函数及其应用． 【分析】代入选项直接判断正误即可． 【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确； 对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确； 对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确； 对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确； 故选：A． 7. 在等差数列，则此数列前10项的和 A.45 B.60 C.75 D.90 参考答案： A 8. 若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为 (  )   A.－4      B.－     C.4      D. 参考答案： 9. 已知△中，给出下列不等式: 正确的有                                                             (    )      A.1个         B.2个         C.3个          D.4个 参考答案： C 10. 若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函g（x）=的定义域是（　　） 　 A． [0，2] B． （0，2） C． （0，2] D． [0，2） 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形.    (i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号） ① ；②； ③.    (ii) 若存在“友好”三角形，且，则另外两个角的度数分别为___. 参考答案： ②； 【考点】解斜三角形 【试题解析】 (i)对①：因为所以①不存在“友好”三角形； 对②：若， 同理：故②存在“友好”三角形； 对③：若满足，则或，都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形。  (ii)若存在“友好”三角形，且， 或， 分析知。又所以有　， 解得：． 12. 数列{an}中，a1＝1，a2＝2， (n≥2，n∈N*)，则这个数列的前10项和为         参考答案： 1023 13. 若正数m、n满足mn﹣m﹣n=3，则点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离最小值是　　． 参考答案： 【考点】点到直线的距离公式． 【专题】直线与圆． 【分析】把已知的等式变形，得到（m﹣1）（n﹣1）≥4，写出点到直线的距离，然后利用基本不等式得答案． 【解答】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=， ∵mn﹣m﹣n=3， ∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0）， ∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2， ∴m+n≥6， 则d=≥3． 故答案为：． 【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题． 14. 函数的值域为,则实数的取值范围是____. 参考答案： 15. 若cosα＝－且角α的终边经过点P（x，2），则P点的横坐标x是____________． 参考答案： 16. 从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为                        参考答案： 设数列的首项为，公比因为，所以，即，所以。因为，所以是偶数，则一定是奇数，所以必有，即。所以，即。所以，，所以，即数列的通项公式为 17. 如图，是一个算法的伪代码，则输出的结果是　　． 参考答案： 5 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数（），其中． （Ⅰ）若曲线与在点处相交且有相同的切线，求的值； （Ⅱ）设，若对于任意的，函数在区间上的值恒为负数，求的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ），切线斜率，　　　　　　　　　　　　------------２分 由题知，即，解得．　　　　　　　　　 ------------5分 （Ⅱ）由题知对任意的，在上恒成立， 即恒成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　------------7分 设，则 Ks5u   ， 令，则对任意的，恒有，则恒有 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增。　　　　　　------------12分Ks5u   ＝４， 所以，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　------------14分 略 19. 设锐角三角形的内角的对边分别为，． （1）求的大小； （2）求的取值范围． 参考答案： 解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以， 由为锐角三角形得． （Ⅱ） ． 由为锐角三角形知， ，． ， 所以．由此有， 所以，的取值范围为． 略 20. (本题满分12分）一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB宽2m，渠OC深为1.5m，水面EF距AB为0.5m. （1）求截面图中水面宽度； （2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 参考答案： 【知识点】抛物线的应用．  H7 【答案解析】（1）m；（2）截面梯形的下边长为m时，才能使所挖的土最少.   解析：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x2=(y+)， 当y=-0.5时，x=±，∴水面宽EF=m. （2）如上图，设抛物线一点M(t,t2-)（t>0）， 因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土.由y=x2-,求导得y′=3x， ∴过点M的切线斜率为3t，切线方程为y-(t2-)=3t(x-t). 令y=0，则x1=,令y=-,则x2=, 故截面梯形面积为S=(2x1+2x2)·=(+t)≥, 当且仅当t=时所挖土最少，此时下底宽m. 【思路点拨】（1）先建立直角坐标系，从而可得到A，B，C的坐标，然后设出抛物线的标准形式，将A的坐标代入即可得到抛物线的方程，再结合点E的纵坐标可求得其横坐标，从而可求得EF的宽度． （2）先设出点M的坐标，根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少，然后对抛物线方程进行求导，求得点M的切线的斜率，表示出切线方程，然后令y=0、﹣，求得对应的x的值，从而表示出截面面积，最后根据基本不等式的性质可求得t的值． 21. 已知曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ （1）将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程 （2）求曲线C1和C2两交点之间的距离． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．由曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ，即ρ2=ρ（2cosθ﹣4sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程． （2）x2+y2=2x﹣4y．化为（x﹣1）2+（y+2）2=5．可得圆心C2（1，﹣2），半径r=．求出圆心到直线的距离d，可得曲线C1和C2两交点之间的距离=2． 【解答】解：（1）曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：y=2x﹣1． 由曲线C2：ρ=2cosθ﹣4sinθ，即ρ2=ρ（2cosθ﹣4sinθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x﹣4y． （2）x2+y2=2x﹣4y．化为（x﹣1）2+（y+2）2=5．可得圆心C2（1，﹣2），半径r=． ∴曲线C1和C2两交点之间的距离=2=． 【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22. 已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，又f(1)＝－． (1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数； (3)求f(x)在－3,6上的最大值与最小值． 参考答案： (1)令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0＋0)，从而f(0)＝0. 令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0. 即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数． (2)证明：设x1，x2∈R，且x1>x2，则x1－x2>0，于是f(x1－x2)<0，从而f(x1)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋x2－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)<0. ∴f(x)为减函数． (3)由(2)知，所求函数的最大值为f(－3)，最小值为f(6)． f(－3)＝－f(3)＝－f(2)＋f(1) ＝－2f(1)－f(1)＝－3f(1)＝2， f(6)＝－f(－6)＝－f(－3)＋f(－3)＝－2f(－3)＝－4. 于是f(x)在－3,6上的最大值为2，最小值为－4.