浙江省温州市瑞安安阳第一中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析

浙江省温州市瑞安安阳第一中学2022-2023学年高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数的模为       （　　）   A. B. C. D. 参考答案： B 略 2. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（    ） （A）             （B）            （C）              （D） 参考答案： C 【知识点】利用导数研究函数的单调性 因为。 故答案为：C 3. 在中，若点满足，，则 A． B． C． D． 参考答案： D 4. 设随机变量服从标准正态分布，已知， 则=（    ） A．0.025                     B．0.050               C．0.950                     D．0.975 参考答案： 答案：C 解析：服从标准正态分布，         5. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有 A、12      B、6      C、 8    D、16 参考答案： 【知识点】排列组合.J2 【答案解析】D  解析：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有种方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法．综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C． 【思路点拨】若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求 6. 执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（  ）   A.1               B.2            C.3                   D.4 参考答案： B. 7. 若0＜a＜b＜1，c＞1，则（　　） A．ac＞bc B．abc＞bac C．logab＜logba D．logac＜logbc 参考答案： B 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断． 【解答】解：∵0＜a＜b＜1，c＞1， ∴ac＜bc，abc＞bac， ∴logab＞logba，logac＞logbc， 故选：B 8. 抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为36π，则p=（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值． 【解答】解：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切， ∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径 ∵圆面积为36π，∴圆的半径为6， 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=， ∴+=6， ∴p=8， 故选：D． 9. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（　　） A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D.　 参考答案： B 10. 设函数则=                                （    ）        A．4                            B．5                            C．6                           D．8 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 的展开式中，含项的系数为                  (用数字作答) 参考答案： 110 12. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为，直线，分别交抛物线于，两点，若三点共线，则_______. 参考答案： 2 13. 若二项式的展开式中的常数项为m，则___________． 参考答案：   二项式的展开式的通项公式为：， 令，则．即有．则． 14. 航天员拟在太空授课，准备进行标号为0，1，2，3，4，5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为      (用数字作答)． 参考答案： 300 15. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=       参考答案： 16. 计算：=                ． 参考答案： 考点：数列的极限． 专题：点列、递归数列与数学归纳法． 分析：直接利用数列极限的运算法则，分子分母同除3n，然后求解极限即可． 解答： 解：===． 故答案为：． 点评：本题考查数列极限的运算法则，基本知识的考查． 17. 飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔（km），飞行员先在点A处看到山顶的俯角为，继续飞行（km）后在点B处看到山顶的俯角为,试用、、、表示山顶的海拔高度为             （km）． 参考答案： （或） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn+1=a2Sn+a1，S3=14． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=an﹣1，求++…+． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（I）Sn+1=a2Sn+a1，S3=14．可得n=1时，a1+a2=+a1，a2＞0，解得a1．n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2，可得Sn+1=2Sn+2，利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出． （II）bn=an﹣1=2n﹣1，可得==．利用“裂项求和”方法即可得出． 【解答】解：（I）∵Sn+1=a2Sn+a1，S3=14．∴n=1时，a1+a2=+a1，a2＞0，解得a1=2． n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4， ∴Sn+1=2Sn+2， n≥2时，Sn=2Sn﹣1+2，可得：an+1=2an（n=1时也成立）． ∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为2， ∴an=2n． （II）bn=an﹣1=2n﹣1，∴==． ∴++…+=++…+=1﹣． 　 19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 (Ⅰ)求角A的大小； (Ⅱ)若，求△ABC面积的最大值． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 分析：（Ⅰ）由正弦定理进行边角互化得。 （Ⅱ）由余弦定理结合基本不等式进行求解。 详解：（Ⅰ）由正弦定理可得： 从而可得：，即 又为三角形内角，所以，于是 又为三角形内角，所以． （Ⅱ）由余弦定理：得：， 所以，所以 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。 20. 已知函数R，. (Ⅰ) 当时，求函数的最小值； (Ⅱ) 若对任意，恒有成立，求实数的取值范围． 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. 参考答案： (Ⅰ)解:当时，,则.    …………………………………1分      令，得. 当时, ; 当时, .  ……………………………………………………2分 ∴函数在区间上单调递减,在区间上单调递增. ………………………………3分 ∴当时,函数取得最小值,其值为.  ……………………………………………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得：恒成立．………………………………………………………………………5分 ①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．……………………6分 设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为． 于是当时，条件满足．… ……………………………………………………………………………9分 ②当时，，即，条件不满足．……………………11分 综上所述，的取值范围为．……………………………………………………………………12分 21. 已知关于x的函数 （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数没有零点，求实数a取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ），.  ………………………………2分 当时，,的情况如下表：   2 0 ↘ 极小值 ↗ 所以，当时，函数的极小值为.  ……………………………6分 （Ⅱ）.     ①当时，的情况如下表： 2 0 ↘ 极小值 ↗         ---7分         因为F(1)=1＞0,  …………………………………………………………………………8分 若使函数F(x)没有零点，需且仅需，解得,………………… 9分     所以此时；……………………………………………………………………10分     ②当时，的情况如下表： 2 0 ↗ 极大值 ↘                                  -----11分 因为,且， 所以此时函数总存在零点. ……………………………………………………12分     （或：当时， 当时，令即 由于令 得，即时，即时存在零点.） 综上所述，所求实数a的取值范围是.………………………………13分 22. （1）已知P是矩形ABCD所在平面上的一点，则有 . 试证明该命题； （2）将上述命题推广到P为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明； （3）将矩形ABCD进一步推广到长方体ABCD-A1B1C1D1，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题. 参考答案： （1）证明：如图，设在直角坐标平面中，矩形的顶点坐标为 ，，，，点是直角坐标平面上的任意一点，则 ， ， 故. （2）推广命题：若棱锥的底面是矩形，则有 . 证明：如图，设棱锥的底面在空间直角坐标系的平面上,矩形的顶点坐标为，，，，设点坐标为，则 ， 故. （3）再推广命题：设是长方体，是空间上任意一点，则 . 证明：如图，由（2）中定理可得 和， 所以.