山东省济宁市运河中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

山东省济宁市运河中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若是两个单位向量，则（   ） A．  B．      C．       D． 参考答案： D 2. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（     ）                   A．   B．    C．   D． 参考答案： B 3. 在集合上定义两种运算和如下：那么          。             参考答案： ； 4. 设等差数列{an}的前n项的和Sn，若a2+a8＝6，则S9＝（　　） A. 3 B. 6 C. 27 D. 54 参考答案： C 【分析】 利用等差数列的性质和求和公式，即可求得的值，得到答案． 【详解】由题意，等差数列的前n项的和， 由，根据等差数列的性质，可得， 所以， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 5. 如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A. 14米 B. 15米 C. 米 D. 米 参考答案： D 设圆的半径为，依题意有，解得，当水面下降1米时，有. 6. 若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 参考答案： A 【考点】三点共线． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线AB与直线AC的斜率，而A、B、C三点共线，故直线AB与直线AC的斜率相等，由此建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值 【解答】解：∵A（﹣2，3），B（3，﹣2）， ∴直线AB的斜率k1==﹣1 同理可得：直线AC的斜率k2=， ∵A、B、C三点共线， ∴直线AB与直线AC的斜率相等，即k1=k2， 得=﹣1，解之得m=1， 故选：A． 【点评】本题给出三点共线，求参数m的值，着重考查了利用直线斜率公式解决三点共线的知识，属于基础题． 7. 调研考试以后，班长算出了某班40人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么的值为 A.             B.1            C.            D.2 参考答案： B 8. 函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： A 设，则， 故排除，； 又∵， ∴在时，有两个零点，排除， 综上，故选． 9. 已知函数的最小正周期为，则该函数图象（   ）   A．关于直线对称  B．关于点对称 C．关于点对称  D．关于直线对称 参考答案： B 略 10. 已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数 的取值范围 是      (   ) A、  B、或  C、 D、  参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正数x，y满足，则4x+9y的最小值为　　． 参考答案： 25 【考点】基本不等式． 【分析】将足代入所求关系式，利用基本不等式即可求得答案． 【解答】解：（4x+9y）（+）=4+9++≥13+2=25，当且仅当x=，y=时取等号， 故4x+9y的最小值为25 故答案为：25 12. 若则_____，_____． 参考答案：   －2, 13. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则          ． 参考答案： 9 14. 执行如图所示的程序框图，输出结果为4，则输入的实数x的值是　  　． 参考答案： 2 【考点】程序框图． 【专题】计算题；图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图． 【分析】根据题中程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解关于x的方程f（x）=4，即可得到输入的实数x值． 【解答】解：根据题意，该框图的含义是 当x≤1时，得到函数y=log；当x＞1时，得到函数y=2x． 因此，若输出结果为4时， ①若x≤1，得y=log2x=4，得x=16（舍去）； ②当x＞1时，得2x=4，解之得x=2， 因此，可输入的实数x值是2． 故答案为：2． 【点评】本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x的值，着重考查了分段函数和程序 15. 已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值是        ． 参考答案： 6 【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由y=f（x﹣1）为偶函数，可知函数y=f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，故函数f（x）定义域的两端点关于﹣1对称． 【解答】解：由y=f（x﹣1）是偶函数，可知y=f（x）的图象关于直线x=﹣1对称 故有， 解得a=6， 故答案为：6 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义，函数图象的平移变换法则，难度不大，属于基础题． 16. 已知点P (x，y)的坐标满足，则(x－1)2＋y2的取值范围是（    ） A、[，9)              B、[，9]              C、[1，9)           D、[，3) 参考答案： A 17. 已知，则的最大值是_______. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知集合，集合，若,求实数的取值范围。 参考答案： 解：（1）若，则解得 （2）由 B又，借助数轴表示知 ，故 综上得。 略 19. 如图,是边长为2的正三角形. 若平面, 平面平面, ,且 （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）求证：平面平面。 参考答案： 证明:(1) 取的中点,连接、, 因为，且 ……2分 所以,,.     ……3分 又因为平面⊥平面, 所以平面                         所以∥，                    ………4分 又因为平面,平面，   ………5分 所以∥平面.                  …………6分 (2)由(1)已证∥,又,, 所以四边形是平行四边形,           所以∥.                               ……………8分 由（1）已证，又因为平面⊥平面, 所以平面,                     所以平面 .               又平面,所以 .   ........10分      因为,, 所以平面 .               因为平面, 所以平面⊥平面 .              …12分 略 20. （14分）已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0。 （1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程； (2)若为圆C上任意一点，求的最大值与最小值； （3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM,M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标。 参考答案： 圆C的方程为：（x+1）2+（y-2）2=2 （1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为； 当切线过原点时，设切线方程为：y=kx,相切则：，得； 当切线的斜率为时，设切线方程为：y=x+b,由相切得：， 得b=1或b=5;故所求切线方程为： 或；或，或 21. （本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，、分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求直线与平面所成的角. 参考答案： 证：（1）、分别是、的中点，//， 又//，则， 而， 平面； …………………………………………………..…7分 解：（2）由题意可知，是在平面上的射影， 则是与平面所成的角， .…………………………10分 因，又， 则是等腰直角三角形，， 即直线与平面所成的角为.   .…………………………13分 22. 如图，在五面体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 参考答案： （1）证明：取的中点，连接，则， ∵∥平面，平面，平面平面， ∴∥，即∥.                                ∵ ∴四边形是平行四边形.                                ∴∥，. 在Rt△中，，又，得. ∴.                                              在△中，，，， ∴， ∴.                                               ∴，即. ∵四边形是正方形， ∴.                                                 ∵，平面，平面， ∴平面.                                            （2）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，， 则∥，. 由（1）知∥，且， ∴∥，且. ∴四边形是平行四边形. ∴∥，且                               由（1）知平面，又平面， ∴.                                               ∵，平面，平面， ∴平面.                                         ∴平面.                                        ∵平面， ∴.                                               ∵，平面，平面，     ∴平面.                                         ∴是直线与平面所成的角.                   在Rt△中，.                  ∴直线与平面所成角的正切值为.