河南省郑州市登封第六高级中学高一数学理期末试卷含解析

河南省郑州市登封第六高级中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积(结果保留π)为     A．       B．  C．        D． 参考答案： C 球的半径为1，故半球的表面积的公式为，半球下底面表面积为π 长方体的表面积为24，所以几何体的表面积为。   2. 若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是(     ) A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 参考答案： C 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论． 【解答】解：由题意． 故选C． 【点评】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题．分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，也要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错． 3. 三个数的大小关系为  (   ) A     B  C      D 参考答案： D 4. 衣柜里的樟脑丸会随着时间的挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V=a?e﹣kt．若新丸经过50天后，体积变为a，则一个新丸体积变为a需经过的时间为（　　） A．125天 B．100天 C．50天 D．75天 参考答案： D 【考点】3T：函数的值． 【分析】由题意得V=a?e﹣50k=a，可令t天后体积变为a，即有V=a?e﹣kt=a，由此能求出结果． 【解答】解：由题意得V=a?e﹣50k=a，① 可令t天后体积变为a，即有V=a?e﹣kt=a，② 由①可得e﹣50k=，③ 又②÷①得e﹣（t﹣50）k=， 两边平方得e﹣（2t﹣100）k=， 与③比较可得2t﹣100=50，解得t=75， 即经过75天后，体积变为a． 故选：D． 5. 已知函数，求（   ） A. －2 B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据分段函数的定义域以及自变量选择合适的解析式由内到外计算的值。 【详解】由题意可得，因此，， 故选：C。 【点睛】本题考查分段函数求值，解题时要根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，另外在求函数值时，遵循由内到外的原则进行，考查计算能力，属于中等题。 6. 设为实数，则与表示同一个函数的是  （    ） A．         B．  C．          D． 参考答案： B 略 7. 已知数列，，它们的前项和分别为，，记（），则数列的前10项和为（    ） A、      B、     C、    D、 参考答案： C 略 8. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（　　） A．　 B． C． D． 参考答案： B 9. 已知数列满足，则等于 A. B. C. D. 参考答案： A 10. 已知向量，是两个平行向量，则对于锐角，与的大小关系是 A.                     B. C.                      D. 无法确定 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知            . 参考答案： 略 12. （4分）若任意的实数a≤﹣1，恒有a?2b﹣b﹣3a≥0成立，则实数b的取值范围为         ． 参考答案： （﹣∞，1] 考点： 函数恒成立问题． 专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 设f（a）=a（2b﹣3）﹣b，由题意可得，2b﹣3＜0，且f（﹣1）≥0恒成立，再由g（x）=x+2x在R上递增，且g（1）=3，解不等式求交集即可． 解答： 设f（a）=a（2b﹣3）﹣b， 由于任意的实数a≤﹣1，恒有a?2b﹣b﹣3a≥0成立， 则2b﹣3＜0，且f（﹣1）≥0恒成立， 则有b＜log23，且3﹣b﹣2b≥0， 由b+2b≤3，又g（x）=x+2x在R上递增，且g（1）=3， 则g（b）≤g（1），解得b≤1． 又b＜log23，则有b≤1． 故答案为：（﹣∞，1]． 点评： 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题． 13. 把6本不同的书平均分给 三个人，每人两本，共有      种不同分法。 参考答案： 54 略 14. （5分）直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0交于一点，则k的值是       ． 参考答案： ﹣ 考点： 两条直线的交点坐标． 专题： 计算题． 分析： 通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入x+ky=0，即可求得k的值． 解答： 依题意，， 解得， ∴两直线2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0的交点坐标为（﹣1，﹣2）． ∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0交于一点， ∴﹣1﹣2k=0， ∴k=﹣． 故答案为：﹣ 点评： 本题考查两条直线的交点坐标，考查方程思想，属于基础题． 15. 若，，，则与的夹角为           .   参考答案： 略 16. 把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如上图所示的数表，                                                                                            第行有个数，第行的第个数(从左数起)记为， 则这个数可记为          。 参考答案： 17. 设数列为公比的等比数列，若是方程的两根， 则_________. 参考答案： 18 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a, F是BE的中点，求证： （1） FD∥平面ABC; （2）AF⊥平面EDB． 参考答案： 证明 (1)取AB的中点M,连FM,MC, ∵ F、M分别是BE、BA的中点   ∴ FM∥EA, FM=EA ∵ EA、CD都垂直于平面ABC  ∴ CD∥EA∴ CD∥FM 又 DC=a,  ∴  FM=DC  ∴四边形FMCD是平行四边形 ∴ FD∥MC   ∴ FD∥平面ABC………………………………………5分 （2）因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB 又  CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF, 因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.               …………………10分 19. 数列的前项和为，． （1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式． （2）设，求数列的前项和． （3）数列中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由． 参考答案： 见解析． 解：（1）数列的前项和为，，， ∴， 两式相减得：，即， ∴，即， 又当时，，得， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴． （2）由题意，， ∴， ， 两式相减得 ． （3）假设存在，，，且，使得，，成等比数列，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵是奇数，，也是奇数， ∴是奇数， 又是偶数， 故不成立， 故数列中不存在三项，可以构成等比数列． 20. 已知函数f（x）=2x2+（2﹣m）x﹣m，g（x）=x2﹣x+2m． （1）若m=1，求不等式f（x）＞0的解集； （2）若m＞0，求关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集． 参考答案： 【考点】一元二次不等式的解法． 【分析】（1）m=1时求出对应不等式f（x）＞0的解集即可； （2）m＞0时，求出不等式f（x）≤g（x）的解集即可． 【解答】解：（1）函数f（x）=2x2+（2﹣m）x﹣m， 当m=1时，2x2+x﹣1＞0， 解得x＞或x＜﹣1， ∴不等式f（x）＞0的解集是{x|x＞或x＜﹣1}； （2）函数f（x）=2x2+（2﹣m）x﹣m，g（x）=x2﹣x+2m； 不等式f（x）≤g（x）是2x2+（2﹣m）x﹣m≤x2﹣x+2m， 化简得x2+（3﹣m）x﹣3m≤0， 解得（x+3）（x﹣m）≤0； ∵m＞0，∴﹣3≤x≤m， ∴不等式f（x）≤g（x）的解集是{x|﹣3≤x≤m}． 21. 已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），且函数的图象过点（2，1）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（m2﹣m）＜1成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图像与性质；一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】（1）直接根据函数图象过点（2，1）求出实数a； （2）根据对数函数的单调性列出不等式组，解出不等式即可． 【解答】解：（1）∵函数f（x）的图象过点（2，1）， ∴f（2）=1，即loga2=1，解得a=2， 因此，f（x）=log2x（x＞0）； （2）， ∵f（m2﹣m）＜1且1=log22， ∴log2（m2﹣m）＜2， 该不等式等价为： 解得，﹣1＜m＜0或1＜m＜2， 所以实数m的取值范围为（﹣1，0）∪（1，2）． 【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，涉及函数的单调性和一元二次不等式的解法，属于中档题． 22. 已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B?A，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】常规题型；计算题；分类讨论． 【分析】解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结． 【解答】解：当m+1＞2m﹣1，即m＜2时，B=?，满足B?A，即m＜2； 当m+1=2m﹣1，即m=2时，B=3，满足B?A，即m=2； 当m+1＜2m﹣1，即m＞2时，由B?A，得即2＜m≤3； 综上所述：m的取值范围为m≤3． 【点评】本题考查的是集合包含关系的判断及应用．解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，满足空集的条件，并能以此条件为界进行分类讨论．