安徽省马鞍山市市中学高二数学理下学期期末试题含解析

安徽省马鞍山市市中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： … ① ② ③ 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 ks5u A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 在上有两个零点，则实数的取值范围是       （   ）A.   B.   C.   D. 参考答案： B 3. 某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量,下列判断正确的是(    ) 加工零件数(个) 10 20 30 40 50 加工时间(分钟) 64 69 75 82 90           A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75)       B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76)       D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75) 参考答案： B 4. 已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（　　） A． +x2=1 B． +y2=1或x2+=1 C． +y2=1 D．以上均不正确 参考答案： A 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】待定系数法假设椭圆的方程，将点和点代入，解方程组，即可得到椭圆的标准方程 【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），据题意得 解得 ∴椭圆的标准方程是 故选A 5. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（   ）条      A .   8       B.  6           C.  4          D.   3 参考答案： B 6. 直线与抛物线 中至少有一条相交,则m的取值范围是    （    ）    A．                 B．    C．                           D．以上均不正确 参考答案： B 提示：原命题可变为，求方程：， ，中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，使得所求.即变为解不等式组   得 ，故符合条件的取值范围是或。 7. 下列关于命题的说法正确的是（   ） A．若是真命题，则也是真命题         B．若是真命题，则也是真命题           C.“若则”的否命题是“则”         D．“”的否定是“” 参考答案： B 8. 设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（　　） A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C． D． 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围． 【解答】解：∵y=ex+ax， ∴y'=ex+a． 由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限， 结合图象易得﹣a＞1?a＜﹣1， 故选A． 9. 用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（　　） A．2π B．4π C．8π D．π 参考答案： C 【考点】球的体积和表面积． 【分析】先求出截面的半径r=1，再求出球半径R==，由此能求出球的表面积． 【解答】解：∵用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为π， ∴截面的半径r=1， ∴球半径R==， ∴球的表面积S=4πR2=8π． 故选：C． 10. 函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D     二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知p：|x－3|≤2， q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，  若是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是____________． 参考答案： [2,4] 略 12. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__________． 参考答案： 方程表示焦点在轴上的椭圆， ∴， 解得． 13. 如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)， 参考答案： B 14. 观察下列数的特点：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…中，第100项的值是　　． 参考答案： 14 【考点】归纳推理． 【专题】规律型；等差数列与等比数列；推理和证明． 【分析】由已知中的数列，可得1有1个，2有2个，3有3个，…n有n个，进而可得答案． 【解答】解：在1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…中， 1有1个，2有2个，3有3个，…n有n个， 当n=13时，共有1+2+…+13=91项 当n=14时，共有1+2+…+14=105项 故第100项是14， 故答案为：14 【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 15. 设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆相交所得弦长为，为坐标原点，则面积的最小值为_______. 参考答案： 略 16. 如图，给出一个算法的伪代码， 则___________． 参考答案： 17. 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD． （1）证明：AB∥CD； （2）若PC=2AC，求． 参考答案： 【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定． 【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明． 【分析】（1）证明∠ABC=∠BCD，即可证明AB∥CD； （2）若PC=2AC，证明△PAC∽△CBA，即可求． 【解答】（1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点， ∴∠PAC=∠ABC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵∠PAC=∠BCD ∴∠ABC=∠BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴AB∥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC ∴∠BAC=∠ACP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴△PAC∽△CBA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴==2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 19. 已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2﹣ax+1＞0对?x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】2E：复合命题的真假． 【分析】通过指数函数的单调性，一元二次不等式的解为R时判别式△的取值求出命题p，q下a的取值范围，而根据p且q为假，p或q为真知道p真q假，或p假q真，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可． 【解答】解：若p真，则a＞1； 若q真，则△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4； ∵p且q为假，p或q为真，∴命题p，q一真一假； ∴当p真q假时，，∴a≥4； 当p假q真时，，∴0＜a≤1； 综上，a的取值范围是（0，1]∪[4，+∞）． 【点评】考查指数函数的单调性，一元二次不等式的解的情况和判别式△取值的关系，以及p且q，p或q的真假和p，q真假的关系． 20. 已知正方形的顶点坐标分别为。 （1）求边所在直线的方程； （2）若正方形的四个顶点都在圆上，求圆的标准方程。 参考答案： （1）由………………………………………………3分 直线平行于，且过， 所以直线的方程为；…………………………………6分 （2）圆心显然应在的中点处，记为，………………………………………………9分 ，所以圆的标准方程为。………13分 略 21. 定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有． （1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明． （2）若对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直， 则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x1 和x2，且x1＜x2． 则f（x1）﹣f（x2）=f（x1 ）+f（﹣x2）=[x1+（﹣x2）]． 由于 ＞0，且[x1+（﹣x2）]＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 故函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数． 这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直． （2）由于 对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立， ∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m2+2am+1）． 由于由（1）可得，函数f（x）是[﹣1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2， ∴2（m2+2am+1）≥2，即 m2+2am≥0． 令关于a的一次函数g（a）=m2+2am，则有 ， 解得 m≤﹣2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤﹣2，或m≥2，或 m=0}． 略 22. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AD是斜边BC上的高，沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C，如图2． （1）证明：平面ABD⊥平面BCD； （2）在图2中，设E为BC的中点，求异面直线AE与BD所成的角． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出AD⊥CD，AD⊥BD，从而AD⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面BCD． （2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD，∠AEF是异面直线AE与BD所成角，由此能求出异面直线AE与BD所成的角． 【解答】证明：（1）∵折起前AD是BC边上的高， ∴当折起后，AD⊥CD，AD⊥BD， 又CD∩BD=D，∴AD⊥平面BCD， ∵AD?平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BCD． 解：（2）取CD的中点F，连结EF，由EF∥BD， ∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角， 连结AF、DE，设BD=2，则EF=1，AD=2，CD=6，DF=3， 在Rt△ADF中，AF==， 在△BCD中，由题设知∠BDC=60°， 则BC2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos60°=28，∴BC=2， ∴BE=，∴cos， 在△BDE中，DE2=BD2+BE2﹣2BD?BE?cos∠CBD=13， 在Rt△ADE中，cos∠AEF===， ∴∠AEF=60°，' ∴异面直线AE与BD所成的角为60°．