河北省唐山市尖子沽中学高三数学理期末试题含解析

河北省唐山市尖子沽中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知各项均不为零的数列，定义向量.下列命题中真命题是 A.若总有成立，则数列是等比数列 B.若总有成立，则数列是等比数列 C.若总有成立，则数列是等差数列 D. 若总有成立，则数列是等差数列 参考答案： D 由得，，即，所以，所以，故数列是等差数列，选D。 2. 要得到的图象，可以将的图象经过这样的变换（      ） A. 向左平移个单位长度        B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度        D. 向右平移个单位长度 参考答案： B[KS5UKS5U] 平移前的函数为， 平移后的函数为；所以向右平移个单位长度。 【考点】①诱导公式；②三角函数的图象； 3. 已知函数有两个零点，则有 A.         B.       C.       D.            参考答案： C 4. 已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若,,且,则 B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C．若，则 D．若，则 参考答案： D 5. 设、都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是 A．  B．       C．       D． 参考答案： A 略 6. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=  (A) -    (B)   (C)   (D) 参考答案： A. 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，难度较低. 因为函数为的奇函数，所以，又因为 的函数解析式为，求得. 7. 下列关系式中正确的是（    ） A．     B．    C．     D． 参考答案： C 8. 已知集合，，若,则实数、的值为                                                    （   ） A．        B． C．                 D． 参考答案： B 9. 已知函数,,则的值为(    ) A. 1  B. 0 C. -1   D. -2 参考答案： B 10. 复数 A.                            B.                          C.                D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是奇函数，且当时，，则当时，         参考答案： 略 12. 函数的反函数解析式为______ 参考答案： 13. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为．直线与在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN，则它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为_____． 参考答案： 由题意可得双曲线的方程为，在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线第一象限的交点的坐标为，记与轴交于点，因为，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为． 14. ＝________.         　 参考答案： 略 15. 已知椭圆是该椭圆的左、右焦点，点，P是椭圆上的一个动点，当的周长取最大值时，的面积为          ． 参考答案：    16. 若关于的不等式的解集为，则实数的值为      ． 参考答案： 2  略 17. 若实数, 则目标函数的最大值是        参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间，如果函数仅有两个零点，       求实数的取值范围； （2）当时，试比较与1的大小. 参考答案： 解：（Ⅰ）当时，，定义域是， ，                    ……………2分 令，得或．                          当或时，，当时，， 函数在、上单调递增，在上单调递减．   ………4分 的极大值是，极小值是． 当时，；当时，， 当仅有一个零点时，的取值范围是或．………6分 (II)当=2时，定义域为（0，+）。 令h(x)=-1=-1, , ………8分 ? ?当 ?                     ………12分 19. （本题满分12分）在正四棱锥中，，与所成的角的大小为 （1）求正四棱锥的体积； （2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上， 求此球的半径. 参考答案： 解：（1）取的中点，记正方形对角线的交点为，连，，，则过． ，，又，，得.………………4分 ， 正四棱锥的体积等于（立方单位）．………………8分 （2）连，，设球的半径为，则，，在中有，得。…………12分 20. [选修4-4：极坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）， （Ⅰ）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的方程为ρsin(θ+)=，求直线l被曲线C截得的弦长． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）求出曲线C的普通方程，即可求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）直线l的方程为=，则x+y=1代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2，即可求直线l被曲线C截得的弦长． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C的普通方程为（x﹣3）2+y2=4，即x2+y2﹣6x+5=0，…（2分） 将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得曲线C的极坐标方程是ρ2﹣6ρcosθ+5=0． … （Ⅱ）曲线l的方程ρsinθ+ρcosθ=1，则x+y=1，…（7分） 将x=1﹣y代入（x﹣3）2+y2=4解得y=0和y=﹣2， 即交点A（1，0），B（3，﹣2），弦长为|AB|=2．…（10分） 【点评】本题考查三种方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21. 已知函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|． （Ⅰ）当a＜﹣2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值． （Ⅱ）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围． 参考答案： 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【分析】（Ⅰ）当a＜2时，写出分段函数，利用函数f（x）的最小值为1，求实数a的值． （Ⅱ）由条件求得（2x+4）?（x﹣a）≤0，分类讨论求得x的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+4|+|x﹣a|的零点为﹣2和a， 当a＜﹣2时，f（x）=， ∴f（x）min=f（﹣2）=2﹣4﹣a=1，得a=﹣3＜﹣2（合题意），即a=﹣3． （Ⅱ）由f（x）=|2x+4|+|x﹣a|，可得|2x+4|+|x﹣a|=|x+a+4|． 由于|2x+4|+|x﹣a|≥|x+a+4|，当且仅当（2x+4）?（x﹣a）≤0时，取等号． 当a=﹣2时，可得x=2，故x的范围为{2}；当a＞﹣2时，可得﹣2≤x≤a，故x的范围为； 当a＜﹣2时，可得a≤x≤﹣2，故x的范围为． 【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题． 22. (本小题满分12分)某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组. （Ⅰ）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率； （Ⅱ）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个 演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由. 参考答案： 把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，a3)共12种. 因此第二个演讲的同学成绩更稳定.(12分)