河南省商丘市冯桥联合中学高三数学理模拟试题含解析

河南省商丘市冯桥联合中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　) 参考答案： 【知识点】三角函数的图象与性质C3 【答案解析】C  由图知，T=2×(+)=π， ∴ω=2，因为函数的图象经过（-，0），0=sin（-+?）∵|?|＜，所以?=， ∴f(x)=sin(2x+)，x1+x2=2×=， 所以f(x1+x2)=sin=．故选C． 【思路点拨】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可． 2. 如图是将二进制数化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是（  ）                       参考答案： A 略 3. 实系数一元二次方程的两个实根为，若有，则的取值范围是 A.      B.     C.   D. 参考答案： D 略 4. 已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为（   ） Ａ．    B．     Ｃ．     D． 参考答案： A 5. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=c且满足cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 参考答案： B 【考点】正弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sinAsinB=sinAcosB，由sinA≠0，可解得tanB=，结合范围B∈（0，π），可求B=，由a=c及三角形内角和定理可得A=B=C=，从而得解． 【解答】解：∵cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0， ?﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0， ?﹣cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB=sinAcosB， ?sinAsinB=sinAcosB，（sinA≠0） ?sinB=cosB， ?tanB=， 又∵B∈（0，π）， ∴解得：B=． 又∵a=c，即A=C，且A+B+C=π， ∴解得：A=B=C=．三角形是等边三角形． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了三角形内角和定理的应用，三角形形状的判定，属于基本知识的考查． 6. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，则g（﹣8）=（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 参考答案： A 【考点】3L：函数奇偶性的性质． 【分析】根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0，由函数的解析式可得f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1），又由函数f（x）的奇偶性，结合函数奇偶性的性质可得g（x）=﹣log（﹣x+1），计算g（﹣8）计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设x＜0，则有﹣x＞0， 又由f（x）=， 则有f（x）=g（x），f（﹣x）=log（﹣x+1）， 又由函数f（x）为奇函数， 则有g（x）=﹣log（﹣x+1）， 故g（﹣8）=﹣log[﹣（﹣8）+1]=﹣2； 故选：A． 7. 某学校对高二年级一次考试进行抽样分析.右图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图,其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[%，兇），[98,100)，[100，102)，[102,104),[ 104,106].已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是 A. 90                  B. 75              C. 60              D. 45 参考答案： A 略 8. 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)． A．(2,3)                               B．(－2,3) C．(－2，－3)                         D．(2，－3)   参考答案： D 9. 极坐标方程表示的曲线为  （    ）        A．极点 B．极轴  C．一条直线 D．两条相交直线 参考答案： D 略 10. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(     ) A．m B．m C．m D．m 参考答案： B 考点：解三角形的实际应用． 专题：应用题；解三角形． 分析：由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案． 解答： 解：如图，∠DAB=15°， ∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣． 在Rt△ADB中，又AD=60， ∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60． 在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60， ∴DC=AD?tan60°=60． ∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）． ∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m． 故选：B． 点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，则+的值是______．   参考答案： 解：16y2=15xz，y=，T16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得=，T+= 12. 已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且=     .   参考答案： 略 13. 某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是             ． 参考答案： 14. 曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________． 参考答案：   15. 共享单车是指企业与政府合作，在公共服务区等地方提供自行车单车共享服务．现从6辆黄色共享单车和4辆蓝色共享单车中任取4辆进行检查，则至少有两个蓝色共享单车的取法种数是_____________． 参考答案： 115 分三类，两辆蓝色共享单车，有种，三辆蓝色共享单车，有种，四辆蓝色共享单车，有种，根据分类计数原理可得，至少有两辆蓝色共享单车的取法种数是90+24+1＝115． 16. 如图所示的程序框图，输出的结果是_________. 参考答案： 1 由程序框图可知，所以 。 17. 从装有10个黑球，6个白球的袋子中随机抽取3个球，则抽到的3个球中既有黑球又有白球的概率为       （用数字作答）． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的离心率是，过点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行与x轴时，直线l被椭圆截得的线段长为．（F1，F2分别为左，右焦点） （1）求椭圆的标准方程； （2）过F2的直线l′交椭圆于不同的两点M，N，则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l′方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题可得：，解出即可得出． （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8，，因此最大，R就最大，．由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1，与椭圆方程联立得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解出可得面积，通过换元再利用导数研究函数的单调性即可得出． 【解答】解：（1）由题知椭圆过点． 由题可得：，解得：． 所以，椭圆方程为：． （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0， 设△F1MN的内切圆半径是R，则△F1MN的周长是4a=8， ，因此最大，R就最大， ． 由题知，直线的斜率不为0，可设直线的方程为x=my+1， 由得，（3m2+4）y2+6my﹣9=0， 解得， 则，令，则t≥1， =， 设，f（t）在[1，+∞）上单调递增， 所以，f（t）≥f（1）=4，， 因为，所以，此时所求内切圆的面积最大值是， 故直线方程为x=1时，△F1MN内切圆面积最大值是． 19. 已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1． （Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）证明：当x＞0时，ex＞x2+1； （Ⅲ）证明：当n∈N*时，． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数学归纳法． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出函数的f′（x）=ex﹣a．通过f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增． （Ⅱ）求出f（x）的最小值，化简f（x）≥1﹣ln4．构造g（x）=ex﹣x2﹣1，通过g′（x）＞0．判断g（x）在（0，+∞）上单调递增，得到g（x）＞g（0），推出结果． （Ⅲ）首先证明：当x＞0时，恒有．令，则h′（x）=ex﹣x2．推出h（x）在（0，+∞）上单调递增，得到x+ln3＞3lnx．利用累加法推出． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a． 又f′（0）=1﹣a=﹣1，所以a=2．所以f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2． 由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2． 所以函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．… （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知． 所以f（x）≥1﹣ln4，即ex﹣2x﹣1≥1﹣ln4，ex﹣2x≥2﹣ln4＞0． 令g（x）=ex﹣x2﹣1，则g'（x）=ex﹣2x＞0． 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）=ex﹣x2﹣1＞g（0）=0，即ex＞x2+1．… （Ⅲ）首先证明：当x＞0时，恒有． 证明如下：令，则h′（x）=ex﹣x2． 由（Ⅱ）知，当x＞0时，ex＞x2，所以h′（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=1＞0，所以． 所以，即x+ln3＞3lnx． 依次取，代入上式，则，，…． 以上各式相加，有 所以， 所以，即．… 另解：用数学归纳法证明（略） 【点评】本题考查函数的导数的应用，构造法以及累加法的应用，函数的导数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．是难题． 20. 已知矩形ABCD，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC -B是直二面角。   (1) 证明：BE⊥CD′； (2) 求二面角D′-BC -E的余弦值。 参考答案： 解：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中点， ∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°， 即又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC      ∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．