湖南省长沙市湘仪学校中学2022年高一数学文联考试卷含解析

湖南省长沙市湘仪学校中学2022年高一数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B．     C． D． 参考答案： B 2. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则函数的解析式可以是（　　） A．f（x）=2cos（3x+） B．f（x）=2sin（） C．f（x）=2sin（3x﹣） D．f（x）=2sin（3x﹣）或f（x）=2sin（） 参考答案： C 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由图形可以求出A，根据图象过（0，﹣1），（，0），把点的坐标代入求出φ，从而可得函数解析式． 【解答】解：由图象知A=2，点（0，﹣1），（，0）在函数图象上， ∵2sinφ=﹣1， ∴可得sinφ=﹣，可得一解为：φ=﹣， ∵2sin（ω﹣）=0， ∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得：ω=+，k∈Z， ∴当k=1时，ω=3， 故函数的解析式可以是f（x）=2sin（3x﹣）． 故选：C． 3. 已知，则的值是（   ）ks5u A.0                  B.2                 C.3                    D.6 参考答案： A 4. （4分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β均为非零实数，若f=﹣1，则f等于（） A． ﹣1 B． 1 C． 0 D． 2 参考答案： B 考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 把x=2012，f=﹣1代入已知等式求出asinα+bcosβ的值，再将x=2013及asinα+bcosβ的值代入计算即可求出值． 解答： 由题意得：f=asin+bcos=asinα+bcosβ=﹣1， 则f=asin+bcos=﹣（asinα+bcosβ）=1， 故选：B． 点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 5. 不等式组表示的平面区域是（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 结合二元一次不等式组表示平面区域，进行判断，即可求解，得到选项． 【详解】由题意，不等式表示在直线的下方及直线上， 不等式表示在直线的上方，所以对应的区域为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，其中解答中结合条件判断区域和对应直线的关系是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 6. 函数f（x）=log2x﹣4+2x的零点位于区间（　　） A．（3，4） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】判断函数在区间端点处函数值的符号，当它们异号时存在零点． 【解答】解：∵f（1）=log21﹣4+2×1=﹣2＜0， f（2）=log22﹣4+2×2=1＞0 又在（1，2）上函数y=log2x﹣4+2x的图象是连续不断的一条曲线， 所以函数y=log2x+2x﹣4在区间（1，2）上存在零点． 故选：C． 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（    ） A. B. C. 10 D. 12 参考答案： B 【分析】 作出多面体的直观图，将各面的面积相加可得出该多面积的表面积. 【详解】由三视图得知该几何体的直观图如下图所示： 由直观图可知，底面是边长为的正方形，其面积为； 侧面是等腰三角形，且底边长，底边上的高为，其面积为， 且； 侧面是直角三角形，且为直角，，，其面积为，，的面积为； 侧面积为等腰三角形，底边长，，底边上的高为，其面积为. 因此，该几何体表面积为，故选：B. 【点睛】本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算，再利用三视图求几何体的表面积时，要将几何体的直观图还原，并判断出各个面的形状，结合图中数据进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 8. 某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（   ） A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等，且为 D. 都相等，且为 参考答案： C 【分析】 抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法概念，属于基础题. 9. 已知集合M={（x，y）|x+y=2}，N={（x，y）|x﹣y=4}，那么M∩N为（　　） A．x=3，y=﹣1 B．（3，﹣1） C．{3，﹣1} D．{（3，﹣1）} 参考答案： D 【考点】交集及其运算． 【分析】将集合M与集合N中的方程联立组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集． 【解答】解：将集合M和集合N中的方程联立得： ， ①+②得：2x=6， 解得：x=3， ①﹣②得：2y=﹣2， 解得：y=﹣1， ∴方程组的解为：， 则M∩N={（3，﹣1）}． 故选D 10. 设，，则(    ) （A） （B） （C） （D） 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 是偶函数，且在是减函数，则整数的值是           ． 参考答案： 或解析： 应为负偶数， 即， 当时，或；当时，或 12. 已知，，则__________． 参考答案： 【详解】因为， 所以，① 因为， 所以，② ①②得， 即， 解得， 故本题正确答案为 13. 在三角形ABC中，bcosC=CcosＢ，则三角形ＡＢＣ是　　　　三角形。 参考答案： 等腰 略 14. 幂函数的图像过点(4,2)，则的解析式是_____________. 参考答案： 略 15. 化简，得其结果为             参考答案： 略 16. 设，，，则的大小关系是        。 参考答案： 17. 已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】函数的图象． 【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案． 【解答】解：联立方程组得， ∴x2﹣x﹣1=x+1， ∴x2﹣2x﹣2=0， ∴x1+x2=2，x1x2=﹣2， ∴+===﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. Sn为数列{an}的前n项和，已知对任意，都有，且. （1）求证：{an}为等差数列； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）见解析；（2） 【分析】 （1）利用与的关系将条件转化为递推关系，化简即可得，即由定义可证. （2）利用等差数列通项公式求出，从而求得，利用裂项求和法即可求出其前项和. 【详解】（1），          ① 当时,    ②  ①-②得， 即， ∵，∴ 即， ∴为等差数列 （2）由已知得， 即 解得（舍）或 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了等差数列证明，以及裂项求和法的应用，属于中档题. 等差数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等差中项法：证得即可. 19. （12分）已知函数f(x)= .（1）求函数的单调区间；   （2）当时，有f(-2m+3)>f (m2 ),求m的范围。 参考答案： 20. （本小题满分10分）某渔业公司年初以98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益为50万元. （1）问第几年起开始获利？ （2）若干年后，有两种处理方案：一是，年平均获利最大时，以26万元出售该船；二是，总收入获利最大时，以8万元出售该船。问，哪种方案合算？（=7.2）. 参考答案： (1) f(n)=50n- 解得 又n∈N+  ∴3≤n≤17 因此公司从第3年开始获利。  ----------4分 (2)若按方案①出售：n年的总利润y=50n-（98+2n2+10n）=-2n2+40n-98，则n年的年平均利润 ------5分 ∵ 当且仅当，即n=7时，等号成立 ∴当n=7时，年平均利润y1取得最大值为40-2×14=12 按照方案①，7年后，以26万出售该渔船，渔业公司共获利润为12×7+26=110（万元）    ----------------------7分 若按方案②出售，n年后，总纯收入y2=-2n2+40n-98=-2（n-10）2+102 当n=10时，y2取最大值为102万，此时，再以8万元出售该渔船，渔业公司共获利为：102+8=110（万元）       ---------9分 由于按两种方案出售渔船渔业公司获利相等，但按方案①所需时间少于方案②所需时间，因此，按方案①最合算。      -------10分 21. 已知函数f（x）=x|m﹣x|（x∈R），f（4）=0． （Ⅰ）求m的值，并指出函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若方程f（x）=a只有一个实根，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】54：根的存在性及根的个数判断；3D：函数的单调性及单调区间． 【分析】（Ⅰ）将x=4代入f（x）的解析式，解方程可得a的值；由绝对值的意义，讨论x的范围，运用二次函数的性质，可得单调区间； （Ⅱ）作出f（x）的图象，考虑直线y=a与曲线有一个交点情况，即可得到所求a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x|m﹣x|，且f（4）=0． 得4|m﹣4|=0，解得m=4；                   故f（x）=x|4﹣x|， 当x≥4时，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4， 对称轴x=2在区间[4，+∞）的左边， f（x）在[4，+∞）递增； 当x＜4时，f（x）=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4， 可得f（x）在（﹣∞，2）递增；在（2，4）递减． 综上可得f（x）的递增区间为（﹣∞，2），（4，+∞）； 递减区间（2，4）； （Ⅱ）画出函数f（x）的图象，如图所示： 由f（x）的图象可知， 当a＜0或a＞4时， f（x）的图象与直线y=a只有一个交点， 方程f（x）=a只有一个实根， 即a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）． 22. 己知全集U=R，集合 (1)当时，求与： (2)若=B，求实数m的取值范围． 参考答案： （1）（2） m2 略