2022-2023学年广东省江门市开平长师中学高一数学理测试题含解析

2022-2023学年广东省江门市开平长师中学高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 三个数a=（），b=（），c=（）的大小顺序是（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 参考答案： B 【考点】幂函数的性质． 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵， ∴a=（）＞b=（）， ∵函数f（x）=在（0，+∞）上单调递减， ∴b=（）＞c=（）， ∴a＞b＞c． 故选：B． 2. 2log510+log50.25=（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 参考答案： C 【考点】对数的运算性质． 【分析】根据对数运算法则可直接得到答案． 【解答】解：∵2log510+log50.25 =log5100+log50.25 =log525 =2 故选C． 3. 下列说法中，正确的是(     ) A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．空集的元素个数为零 D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 参考答案： C 【考点】空集的定义、性质及运算． 【专题】应用题；集合思想；定义法；集合． 【分析】空集是任何集合的子集、是任何一个非空集合的真子集、空集不含有任何元素、只有1个子集，由此可得结论． 【解答】解：A：空集是任何集合的子集，即A不正确； B：空集是任何一个非空集合的真子集，故B不正确； C：空集不含有任何元素，故C正确； D：空集只有1个子集，即D不正确． 故选C． 【点评】本题考查空集的概念，考查子集、真子集，属于基础题． 4. 已知函数，则下列关于函数f(x)图像的结论正确的是( ▲ ） A.关于点(0,0)对称 B.关于点(0,1)对称 C.关于y轴对称 D.关于直线x=1对称 参考答案： D 5. 已知,，则等于               (     ) A.      B.      C.      D. 参考答案： B 略 6. 设min{p，q，r}为表示p，q，r三者中较小的一个，若函数f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，则不等式f（x）＞1的解集为（　　） A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（1，+∞） D．（1，3） 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】由题意得f（x）=，作出函数f（x）的图象如图所示，根据图象可得答案． 【解答】解：由题意得f（x）=，作出函数f（x）的图象如图所示，则f（x）＞1的解集为（1，3）． 故选：D． 7. 若，则      ） A．         B．         C．          D． 参考答案： C 8. 设a >0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是                 （    ） A．                       B．≥     C．≥             D．≥4 参考答案： A 9. 已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（    ） A. 12π B. 16π C. 20π D. 24π 参考答案： A 【分析】 先求出外接球的半径，再求球的表面积得解. 【详解】由题得正方体的对角线长为， 所以. 故选：A 【点睛】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10. 在矩形中，，是边上的动点，记，当取最小值时，（） A. B.             C. D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 计算：= _________. 参考答案： 3 12. 若函数f (x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)=0，则使得f (x)<0 的x 的取值范围是             . 参考答案： 13. c已知，则=_________________。 参考答案： 略 14. （5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是      （写出所有正确命题的编号）． ①当0＜CQ＜时，S为四边形； ②当CQ=时，S为等腰梯形； ③当＜CQ＜1时，S为六边形； ④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=； ⑤当CQ=1时，S的面积为． 参考答案： ①②④⑤ 考点： 平面与平面之间的位置关系． 专题： 综合题；空间位置关系与距离． 分析： 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误． 解答： 如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=， 故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确； 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确； 当CQ=时，如图， 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故④正确； 由上可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误； ⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF， 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1?PF=，故正确． 故答案为：①②④⑤ 点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题． 15. 函数＝的定义域为________________. 参考答案： 略 16. 在△ABC中，若，则AC=                。 参考答案： 3 17. 已知数列{an}中，a1=2，an=an﹣1﹣（n≥2），则数列{an}的前12项和为　　． 参考答案： ﹣9 【考点】8E：数列的求和． 【分析】由题意可得数列{an}为首项2，公差d为﹣的等差数列，再由等差数列的前n项和的公式，计算即可得到所求和． 【解答】解：a1=2，an=an﹣1﹣（n≥2）， 即有an﹣an﹣1=﹣（n≥2）， 可得数列{an}为首项2，公差d为﹣的等差数列， 则数列{an}的前12项和为12×2+×12×11×（﹣） =﹣9． 故答案为：﹣9． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) （1）化简： （2）已知：，求的值 参考答案： （1）;（2）. 19. 如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、、         参考答案：    20. 已知函数在区间[1,3]上有最大值5和最小值2，求a、b的值． 参考答案： 解：依题意，的对称轴为，函数在[1,3]上随着的增大而增大， 故当时，该函数取得最大值，即， 当时，该函数取得最小值，即，即， ∴联立方程得，解得，. 21. （12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0）． （1）当m=1时，判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明； （2）当m＞0时，讨论并求f（x）的零点． 参考答案： 考点： 函数单调性的性质；函数零点的判定定理． 专题： 计算题；分类讨论；函数的性质及应用． 分析： （1）f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．运用函数的单调性的定义加以证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤； （2）讨论当x＞0时，当0＜m＜时，当m=时，当m＞时，以及当x＜0时，通过二次方程解的情况，即可判断零点个数． 解答： 解：（1）f（x）在（﹣∞，0）上为增函数． 理由如下：令x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=x1﹣﹣1﹣（x2﹣﹣1） =（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1+）， 由x1＜x2＜0，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0， 则f（x））在（﹣∞，0）上为增函数； （2）当x＞0时，f（x）=x+﹣1=0，x2﹣x+m=0，△=1﹣4m， 当0＜m＜时，x=；当m=时，x=；当m＞时，方程无实数解． 当x＜0时，f（x）=x﹣﹣1=0，x2﹣x﹣m=0，△=1+4m＞1（m＞0）， 解得，x=． 综上可得，当0＜m＜时，f（x）有三个零点，分别为，，； 当m=时，f（x）有两个零点，分别为，； 当m＞时，f（x）有一个零点，则为． 点评： 本题考查函数的单调性的判断以及证明，考查函数的零点的判断，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题． 22. 已知函数 （1）用分段函数的形式表示， （2）画出函数的图象，并写出函数的单调区间、值域。 参考答案： （1）， （2）画出函数的图象， 函数的单调增区间为 值域为 略