北京新光中学高二数学理上学期期末试题含解析

北京新光中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则的值等于      （     ） A．               B．1                C．2               D．3 参考答案： D 2. 如图，三棱锥D-ABC中，，，平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（   ） A. B. C. D. 0 参考答案： A 【分析】 取BC中点O，连结OD，OA，则OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA，以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CM与BN所成角的余弦值． 【详解】取BC中点O，连结OD，OA， ∵三棱锥D-ABC中， ， 平面DBC⊥平面ABC，M，N分别为DA和DC的中点， ∴OD⊥BC，OA⊥BC，OD⊥OA， 以O为原点，OC为x轴，OA为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， C（ ，0，0），A（0，，0），D（0，0，），M（0，，）， N（，0，），B（-，0，0）， =（-，,）， =（，0，）， 设异面直线CM与BN所成角的平面角为θ， 则cosθ=． ∴异面直线CM与BN所成角的余弦值为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则 A. 至少有两个零点  B. 在x=3处取极小值 C．在(2,4)上为减函数  D．在x=1处切线斜率为0 参考答案： C 根据导函数的图像只能得到原函数的单调性，和单调区间，得不到函数值，故得到A是错的，在x=3处，左右两端都是减的，股不是极值；故B是错的；C，在(2,4)上是单调递减的，故答案为C；D在1出的导数值大于0，故得到切线的斜率大于0，D不对。 故答案为C。   4. 用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（   ） A.48个         B.36个         C.24个           D.18个 参考答案： B 5. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1B1BA，且AA1=AB=BC=2，则AC与平面A1BC所成角为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】证明AD⊥平面A1BC，得出∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，求出AC=，AD=，即可得出结论． 【解答】解：如图，AB1∩A1B=D，连结CD， ∵AA1=AB，∴AD⊥A1B， ∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B， ∴AD⊥平面A1BC， 则CD是AC在平面A1BC内的射影， ∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角， 又BC?平面A1BC， 所以AD⊥BC， 因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC． 又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC ∵AA1=AB=BC=2，∴AC=，AD= ∴sin∠ACD=，∴∠ACD=， 故选A． 6. 的值等于 (A)         (B)           (C)         (D) 参考答案： A 7. 函数的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的范围，从而可得函数的单调递增区间． 【解答】解：f′（x）=a?，（a＞0）， 令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1， 故f（x）在（﹣1，1）递增， 故选：B． 【点评】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系及应用，导数法是求函数的单调区间的基本方法，一定要熟练掌握． 8. 过（1，1）的直线l与双曲线有且仅有一个公共点的直线有（　　）条． A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： A 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】可利用几何法考虑，直线与双曲线有一个公共点的情况有两种，一种是直线与双曲线相切，一种是直线平行于双曲线的渐近线，只需判断P点与双曲线的位置关系，就可找到结论． 【解答】解：双曲线双曲线的渐近线方程为y=±x， ∴点P（1，1）不在双曲线的渐近线y=x上， ∴可过P点作双曲线的l两条切线，和两条平行于渐近线y=x的直线， 这四条直线与双曲线均只有一个公共点， 故选：A． 9. 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是　　 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据图象和导数的几何意义即可判断． 【详解】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大， ∵a， ∴f′（1）＜a＜f′（2）， 故选：B． 【点睛】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题． 10. 对于每个正整数，抛物线与轴交于两点，以||表示两点间的距离，则||+||+…+||的值是 A．  　   B．  　 C．      D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知双曲线x2－＝1（b＞0）的一条渐近线的方程为y＝2x，则b的值是    ▲    ． 参考答案： 2    略 12. 若为坐标原点，，，，则线段的中点到的距离为           ． 参考答案： 13. 函数g(x)＝ax3＋2(1－a)x2－3ax (a<0) 在区间（-∞，）内单调递减，则a的取值范围是                    ． 参考答案： (－∞，－1]． 14. 某正数列前项的和与通项的关系是，计算后，归纳出___▲__； 参考答案： 略 15. 如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角                  .   参考答案： 60° 16. 已知两点，、，，点，在直线AB上，则实数的值是____________． 参考答案： _ 17. 二次函数的二次项系数为正,且对于任意实数恒有,若,则的取值范围是___________. 参考答案： （-2，1） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题13分）已知方程， （1）若此方程表示圆，求m的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m； （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程 参考答案： (1)由=20-4m＞0,得m＜5.         2分 (2)将x=-2y+4代入x2+y2-2x-4y+m=0,得5y2-16y+8+m=0. 由Δ=162-20(8+m)＞0,得m＜. 设M(x1,y1)、N(x2,y2), 由OM⊥ON有kOM·kON=-1. ∴x1x2+y1y2=0. 又x1=-2y1+4,x2=-2y2+4, ∴5y1y2-8(y1+y2)+16=0. 将y1+y2=,y1y2=代入解得m=.            8分 (3)当m=时,因圆心H(a,b)是MN的中点, 故b==,a=-2b+4=. 半径R=|MN|=|y1-y2|=. ∴以MN为直径的圆的方程为(x-)2+(y-)2=.         13分 19. （4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）求曲线C上的直线距离最大的点的直角坐标. 参考答案： 解：（1）因为，，， 所以曲线的直角坐标方程为. （2）直线方程为，圆的标准方程为， 所以设圆上点坐标为， 则， 所以当，即时距离最大，此时点坐标为.   20. （本小题满分13分）已知点，是平面内的一个动点，直线与交于点,且它们的斜率之积是． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程，并求出曲线的离心率的值； （Ⅱ）设直线与曲线交于M、N两点，当线段的中点在直线上时，求直线的方程. 参考答案： (1)设点，则依题意有，  ----------3分 整理得---------------------------------------5分 所以求得的曲线C的方程为  ----------6分 （2）设,的中点 得       , ①－②得      ---------------------8分 即    又      ---------------------12分 得直线的方程为 . --------------------------13分 21. （本题共10分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5 +b3=13 （1）求出和的通项公式； （2）求数列的前n项和Sn。 参考答案： 22. （本小题满分12分）某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元． (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用) (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 参考答案： (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)， 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，    写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为： y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)；          …………………6分 (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g(x)＝×10 000＝ ＝50≥50×(2＋79)＝6 950(元)．       …………………10分 当且仅当x＝，即x＝30时等号成立． 答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．…………………12分