2022-2023学年云南省昆明市嵩明县第二完全中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022-2023学年云南省昆明市嵩明县第二完全中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的值为（   ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 2. 设函数f(x)＝x·sinx，若，∈[－，]，且f()＞f()，则下列不等式恒成立的是(　　) (A) ＞    (B) ＜  (C) ＋＞0 (D) 参考答案： D 略 3. 偶函数f（x）在x＞0时，函数f′（x）=x2+ax+b，则f（x）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；在x＞0时，函数f′（x）=x2+ax+b，原函数为三次函数，最多两个极值点，排除D，即可得出结论． 【解答】解：函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C； 在x＞0时，函数f′（x）=x2+ax+b，原函数为三次函数，最多两个极值点，排除D， 故选B． 4. 的值等于( ) A． B． C． D． 参考答案： D 5. 已知函数f(x)=，若关于x的方程f(x)=x+m恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（　　） A．[0，]   B．(0，) C．[0，] D．(0，) 参考答案： D 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解，则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点，数形结合可得答案． 【解答】解：函数的图象如下图所示： 若关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不相等的实数解， 则函数f（x）的图象与直线y=x+m有三个交点， 当直线y=x+m经过原点时，m=0， 由y=﹣x2+2x的导数y′=﹣2x+2=得：x=， 当直线y=x+m与y=﹣x2+2x相切时，切点坐标为：（，）， 当直线y=x+m经过（，）时，m=， 故m∈（0，）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档． 　 6. 已知=                                                  （　   ）          A．                      B．                          C．                              D． 参考答案： B 略 7. 设函数若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝(　　) A．－3      B．±3     C．－1  D．±1 参考答案： D 略 8. “a>b且c>d”是“ac >bd”成立的 A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 9. 给出下面几种说法： ①两个非零向量=（，），=（，），若∥，则； ②函数的零点所在的大致区间是（2，3）； ③已知命题：，，则：，； ④函数的最小值为4。 其中正确的个数为（   ） A．1                B．2        　      C．3     　　       D．4 参考答案： B ①错误，应为若∥，则； 因为，，所以的零点所在的大致区间是（2，3），②正确； ③正确；④错误，显然时不成立。故选B。 10. 函数的零点个数为（  ） A． 0      B．   1   C．   2    D．  3   参考答案： B 函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△中，，为线段上一点，若，则△的周长的取值范围是            . 参考答案： 12. 已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积的最 大值为         . 参考答案： 略 13. 若指数函数在其定义域内是减函数，则a的取值范围是_______j 参考答案：   【知识点】指数函数的图像与性质．B6 解析：∵y=（a2﹣1）x在定义域内是减函数， ∴0＜a2﹣1＜1，即1＜a2＜2，解得1＜a＜或＜a＜﹣1， 故答案为：． 【思路点拨】根据指数函数的单调性即可得到结论． 14. 已知函数f(x)=－x3+ax2+bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=      ． 参考答案： -1 略 15. 球O是四面体ABCD的外接球（即四面体的顶点均在球面上），若AB=CD=2，AD=AC=BD=BC=，则球O的表面积为          ． 参考答案： 9π 考点：球的体积和表面积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，然后求出球的表面积． 解答： 解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=2，AD=AC=BD=BC=，可知，△ABC与△ADB，都是等腰三角形， AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD） DE===，DF=CD=，EF===1， ∴GF=EF=， 球半径DG===， ∴外接球的表面积为4π×DG2=9π， 故答案为：9π． 点评：本题考查球的内接几何体，球的表面积的求法，考查计算能力． 16. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为          ．  参考答案： 17. 设数列是首项为，公比为的等比数列，则        参考答案： 15 这题相当于直接给出答案了 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）上一点Q（1，a）到焦点的距离为3，． （1）求a，p的值； （Ⅱ）设P为直线x=﹣1上除（﹣1，﹣），（﹣1，）两点外的任意一点，过P作圆C2：（x﹣2）2+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义即可得到，求出p=4，从而焦点坐标为（2，0），这便得到，从而可求出a的值； （Ⅱ）可设过点P的直线l方程为：y﹣y0=k（x+1），联立抛物线方程消去x便可得到ky2﹣8y+8y0+8k=0，可设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，A，B，C，D四点的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可以得到．可以求圆心C2到切线l的距离，从而可以得到关于k的一元二次方程，由韦达定理得到k1+k2=﹣y0，这样即可求得y1y2y3y4=64，即得出A，B，C，D四点纵坐标之积为定值． 【解答】解：（Ⅰ）根据抛物线的定义，Q（1，a）到准线x=的距离为3； ∴； ∴p=4； ∴抛物线的焦点坐标为（2，0）； ∴； ∴； （Ⅱ）设P（﹣1，y0），过点P的直线方程设为l：y﹣y0=k（x+1）； 由得，ky2﹣8y+8y0+8k=0； 若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4； ∴； ∵C2到l的距离d=； ∴； ∴； ∴=； ∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64． 【点评】考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的焦点及准线方程，两点间距离公式，直线的点斜式方程，以及韦达定理，圆心到切线距离和圆半径的关系，点到直线的距离公式． 19. (本小题满分12分)已知为所在平面内的一点. (Ⅰ)已知为边的中点,且,求证:; (Ⅱ)已知的面积为2,求的面积. 参考答案： （I）因为为边中点，所以由,…………2分 得，即,所以.…………4分 （II）如图所示，延长到，使,延长到，使，连结, 取的中点，则…………5分 所以三点共线且为三角形的重心，…………6分 则，在中，为边中点， 所以,…………7分 在中，为边近端三等分点，所以.…………8分 在中，连，为边中点，所以，在中，为边近端三等分点，所以，…………10分 因为，所以面积之比为，因为的面积为，所以面积为：.…………12分 20. （本小题满分12分）在一个圆锥体的培养房内培养了40只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点有一个不计厚度且平行于圆椎底面的平面把培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是互通的，假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间是不受影响的。 （1）求蜜蜂落人第二实验区的概率； （2）若其中有10只蟹蜂被染上了红色，求恰有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率； （3）记X为落入第一实验区的蜜蜂数，求随机变量X的数学期望EX。 参考答案： 21. （本小题满分14分） 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上. (1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值； (2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置． 参考答案： 解: 以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4，2). (1)因为A1M＝3MB1，所以M(1,3,2). 所以＝(4,0,2)，＝(－3,3,2). 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为.-------------------------8分 (2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,2)，知＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2). 设平面ABC1的法向量为n＝(a，b，c)，由得， 令a＝1，则b＝1，c＝，所以平面ABC1的一个法向量为n＝(1,1，). 因为点M在线段A1B1上，所以可设M(x,4－x,2)，所以＝(x－4,4－x,2). 因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，所以|cos〈n，〉|＝sin 30°＝. 由|n·|＝|n||||cos〈n，〉|，得|1·(x－4)＋1·(4－x)＋·2| ＝2· ·，    解得x＝2或x＝6. 因为点M在线段A1B1上，所以x＝2， 即点M(2,2,2)是线段A1B1的中点. -------------------------14分   22. 已知数列{an}为等差数列，且a3=5，a5=9，数列{bn}的前n项和Sn=bn+． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出通项公式，再根据数列的递推公式即可求出{bn}的通项公式， （Ⅱ）由错位相减求和法求出数列{cn}的前n项和Tn． 【解答】解：（Ⅰ）数列{an}为等差数列，∴d=（a5﹣a