2022年江苏省南通市启秀中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022年江苏省南通市启秀中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 充满气的车轮内胎（不考虑胎壁厚度）可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是(　　) 参考答案： C 选项A得到的是空心球；D得到的是球；选项C得到的是车轮内胎；B得到的是空心的环状几何体，故选C. 2. 读如图21－3所示的程序框图，若输入p＝5，q＝6，则输出a，i的值分别为(　　) 图21－3 A．a＝5，i＝1                       B．a＝5，i＝2 C．a＝15，i＝3                      D．a＝30，i＝6 参考答案： D 3. 若函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴没有交点，则点(a，b)在aOb平面上的区域(不含边界)为(　       　) 参考答案： D 4. 如图(图4)是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（      ） A．      B．  C．        D．                                             参考答案： D 略 5. 已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（  ） A.   B. C.                 D. 参考答案： D 6. 命题“存在，的否定是（    ） A. 不存在， B. 存在， C. 对任意的， D. 对任意的， 参考答案： D 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题的有关知识，选出正确选项. 【详解】原命题是特称命题，其否定是全称命题，主要到要否定结论，故只有D选项符合. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题. 7. 若，则f（x）=（　　） A．f（x）=x2+2B．f（x）=x2﹣2C．f（x）=（x+1）2D．f（x）=（x﹣1）2 参考答案： A 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值． 【分析】直接利用配方法求解即可． 【解答】解： =． ∴f（x）=x2+2． 故选：A． 8. 已知水平放置的△ABC的直观图△ (斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为 ( 　) A．a2　       B．a2　　　     C．a2　     　D．a2 参考答案： D 略 9. 在ABC中，若c=2acosB，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： B 考点： 正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： △ABC中，2acosB=c，由正弦定理可知2sinAcosB=sinC=sin（A+B），展开后逆用两角差的正弦即可． 解答： 解：∵△ABC中，2acosB=c， ∴由正弦定理得：2sinAcosB=sinC， 又△ABC中，A+B+C=π， ∴C=π﹣（A+B）， ∴sinC=sin（A+B）， ∴2sinAcosB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB， ∴sinAcosB﹣cosAsinB=0， ∴sin（A﹣B）=0，又A、B为△ABC中的内角， ∴A﹣B=0， ∴A=B． ∴△ABC必定是等腰三角形． 故选：B． 点评： 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用，考查两角和与两角差的正弦，属于中档题． 10. 从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为(　　) A．5                            B．10                          C．20                          D． 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数是上的单调函数，则的取值范围为      . 参考答案： 12. 把不超过实数x的最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在[2,5]上任取x，则的概率为______． 参考答案： 【分析】 将表示为分段函数的形式，解方程组求得的取值范围，利用几何概型概率计算公式，求得所求概率. 【详解】依题意可知当时，，当，当，当.综上所述，当时，符合，故概率为. 【点睛】本小题主要考查取整函数的概念及运用，考查古典概型的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 13. 若曲线与直线有且仅有两个相异交点，则实数k的取值范围是 ________。 参考答案： 略 14. 对任意实数k，直线y = kx + b与曲线恒有公共点，则b的取值范围是_____. 参考答案： 15. 设，则 _______________． 参考答案： 【分析】 先令可求出的值，然后利用可得出，然后将两式相减可得出代数式的值。 【详解】， 令可得， 令可得， 因此，，故答案为：. 【点睛】本题考查二项展开式项的系数和，一般利用赋值法来求解，赋值如下： 设，则 （1）；（2）；（3）. 16. 若直线为双曲线的一条渐近线，则____________. 参考答案： 1 17. 在三角形ABC所在平面内有一点H满足，则H点是三角形ABC的--------____________ 参考答案： 垂心 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知长方体，设动点F从B点出发，沿运动，G为F在底面ABCD的投影，AB=BC=2，，BF=x，（1）求，（2）用x表示三棱锥G-ADF的体积，当F在什么位置时，三棱锥G-ADF的体积最大，并求出最大体积； 参考答案： （1）在长方体中        （2）          由二次函数性质可知，当x=体积最大，最大体积为， 略 19. 设函数f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）． （1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值； （2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调，求m﹣n的取值范围； （3）是否存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n； （2）求出y=f（x）﹣g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得m﹣n的范围； （3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法． 【解答】解：（1）当m=1时，， ∴y=g（x）在x=1处的切线斜率， 由，∴y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1， ∴，∴n=5． （2）易知函数y=f（x）﹣g（x）的定义域为（0，+∞）， 又， 由题意，得的最小值为负， ∴m（1﹣n）＞4，由m＞0，1﹣n＞0， ∴， ∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4（舍去）， ∴m﹣n＞3； （3）解法一、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立． 令θ（x）=，其中x＞0，a＞0， 则θ'（x）=， 设， ∴δ（x）在（0，+∞）单调递减，δ（x）=0在区间（0，+∞）必存在实根， 不妨设δ（x0）=0，即， 可得（*）θ（x）在区间（0，x0）上单调递增， 在（x0，+∞）上单调递减， 所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0， 代入（*）式得， 根据题意恒成立． 又根据基本不等式，，当且仅当时，等式成立 即有，即ax0=1，即． 代入（*）式得，，即， 解得． 解法二、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立． 令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0 根据条件对任意正数x恒成立， 即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立， ∴且，解得且， 即时上述条件成立，此时． 解法三、假设存在实数a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立． 令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0 要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立， 等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立， 即对任意正数x恒成立， 设函数，则φ（x）的函数图象为开口向上， 与x正半轴至少有一个交点的抛物线， 因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点， 即，所以． 20. (本题满分10分) 抛物线(p>0)的准线方程为，该抛物线上的点到其准线的距离与到定点N的距离都相等，以N为圆心的圆与直线 都相切。 （Ⅰ）求圆N的方程； （Ⅱ）是否存在直线同时满足下列两个条件，若存在，求出的方程；若不存在请说明理由. ① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为； ② 被圆N截得的弦长为． 参考答案： (本题满分10分) （Ⅰ）因为抛物线的准线的方程为， 所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，则定点N的坐标为． 所以 圆N的方程．                              3分 （Ⅱ）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， 设的方程为，, 以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，    5分   方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， 即，解得， 当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ 当时，的方程为 ，                          7分 由，解得点A坐标为， 由，解得点B坐标为， 显然AB中点不是，矛盾！  所以不存在满足条件的直线．        10分   方法2：假设A点的坐标为， 因为AB中点为，所以B点的坐标为，  又点B 在直线上，所以，     所以A点的坐标为，直线的斜率为4， 所以的方程为，                                      7分 圆心N到直线的距离，   因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ 所以不存在满足条件的直线．                                     10分 略 21. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2． （Ⅰ）若E是AB中点，F是SC的中点，求证：EF∥面SAD； （Ⅱ）求四棱锥S﹣ABCD的侧面积． 参考答案： 【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）要证EF∥面SAD，只要证明EF平行于面内的一条直线； （Ⅱ）关键是分别求出平面SBC，SCD的面积；首先要判断它们各自的形状． 【解答】（Ⅰ）证明：因为E是AB中点，F是SC的中点，过F作FG∥CD， 则G是SD的中点， 又因为，所以． 所以四边形AEFG是平行