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湖南省长沙市三十七中学高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1.( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 某班有60名学生,学号为1~60号,现从中抽取5位同学参加一项活动,用系统抽样的方法确定的抽样号码可能为( )
A.5,10,15,20,25 B.5,12,31,39,57
C.6,16,26,36,46 D.6,18,30,42,54
参考答案:
D
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的定义,求出样本间隔即可.
【解答】解:样本间隔为60÷5=12,
则满足条件的编号为6,18,30,42,54,
故选:D.
3. 函数的值域为( )
A. B. C.(0,] D.(0,2]
参考答案:
A
【考点】指数型复合函数的性质及应用;二次函数的性质.
【分析】令t(x)=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1≤1,结合指数函数y=的单调性可求函数的值域
【解答】解:令t(x)=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1≤1
∵单调递减
∴即y≥
故选A
【点评】本题主要考查了指数函数与二次函数复合而成的复合函数的单调性,属于基础试题
4. 在和8之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为( )
A.8 B.±8 C.16 D.±16
参考答案:
A
略
5. 设集合A=, B=, 函数f(x)=若x,
且f [ f (x)],则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 若,,与的夹角为,则( )
A.2 B.1 C.2 D.4
参考答案:
B
7. 定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为P,过点P作PP1垂直轴于点P1,直线PP1与的图像交于点P2,则线段P1P2的长为________.
参考答案:
略
8. 函数的定义域为R,求实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 用二分法计算在内的根的过程中:令f(x)= 得,,,,则方程的根落在区间( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
10. 已知奇函数的图像关于直线对称,且,则的值为( )
A. 3 B. 0 C. -3 D.
参考答案:
C
【分析】
由函数的图象关于直线对称,可得,再结合为奇函数,求得的值.
【详解】解:由函数的图象关于直线对称,可得,
再结合为奇函数,可得,
求得,
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质,函数的图象的对称性,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的值域是 .
参考答案:
(0,1]
令,则.
∴.
故函数的值域是.
答案:
12. 把正偶数数列的数按上小下大,左小右大的原则排列成如图“三角形”所示的数表,设是位于这个三角形数表中从上往下数第行,从左往右数第个数,若=2014,则= .
参考答案:
62
13. 已知实数x,y满足则目标函数的最大值是____,满足条件的实数x,y构成的平面区域的面积等于____.
参考答案:
(1). 2 (2). 2;
【分析】
作出不等式组对应的平面区域,利用线性目标函数的最值求法,进行求解即可.
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
由得.平移直线,
由图象可知当直线经过点时,直线的截距最小,此时最大.
由,解得,代入目标函数得.
即目标函数的最大值为2.
点时,同理,
满足条件的实数,构成的平面区域的面积等于:
【点睛】本题主要考查简单线性规划问题的求解方法——平移法的应用,以及三角形面积的求法。
14. (4分)方程的解是 .
参考答案:
x=﹣1
考点: 有理数指数幂的运算性质.
专题: 计算题.
分析: 把,化为3﹣2,然后按照指数幂的运算法则,转化为一次方程,求解即可.
解答:
故答案为:x=﹣1.
点评: 本题考查有理数指数幂的运算性质,是基础题.
15. 幂函数的图象经过点,则满足=27的的值是 .
参考答案:
16. 已知那么= ,= 。
参考答案:
略
17. (5分)若,的夹角为30°,则的值为 .
参考答案:
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题.
分析: 条件中给出两个向量的模和两向量的夹角,代入数量积的公式运算即可,只是题目所给的模不是数字,而是用三角函数表示的式子,因此代入后,还要进行简单的三角函数变换,二倍角公式逆用.
解答: 因为:=2sin15°?4cos15°?cos30°
=4sin30°?cos30°=2sin60°=.
故答案为:.
点评: 本题考查向量的数量积公式、三角函数的二倍角公式.考查计算能力.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在四棱锥中,平面,底面是棱长为的菱形,,,是的中点.
(1)求证://平面;
(2)求直线与平面所成角的正切值.
参考答案:
(1)见解析(2)
【分析】
(1)连接交于点,则为的中点,由中位线的性质得出,再利用直线与平面平行的判定定理得出平面;
(2)取的中点,连接,由中位线的性质得到,且,可得出平面,于此得出直线与平面所成的角为,然后在中计算即可.
【详解】(1) 连接,交于点,连接,由底面是菱形,知是的中点,又是的中点,∴ .
又∵平面,平面,∴平面;
(2)取中点,连接,
∵分别为的中点,∴,
∵平面,∴平面,
∴直线与平面所成角为,
∵,,∴.
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查直线与平面所成角的计算,在计算直线与平面所成角时,要注意过点作平面的垂线,构造出直线与平面所成的角,再选择合适的直角三角形求解,考查逻辑推理能力与计算能力,属于中等题。
19. 已知函数f(x)=x+
(Ⅰ)判断函数的奇偶性,并加以证明;
(Ⅱ)用定义证明f(x)在(0,1)上是减函数;
(Ⅲ)函数f(x)在(﹣1,0)上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求写证明过程).
参考答案:
证明:(I)函数为奇函数
(II)设x1,x2∈(0,1)且x1<x2
=
∵0<x1<x2<1,∴x1x2<1,x1x2﹣1<0,
∵x2>x1∴x2﹣x1>0.
∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x2)<f(x1)
因此函数f(x)在(0,1)上是减函数
(III)f(x)在(﹣1,0)上是减函数.
考点:奇偶性与单调性的综合.
专题:常规题型.
分析:(I)用函数奇偶性定义证明,要注意定义域.(II)先任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号,(III)由函数图象判断即可.
解答:证明:(I)函数为奇函数
(II)设x1,x2∈(0,1)且x1<x2
=
∵0<x1<x2<1,∴x1x2<1,x1x2﹣1<0,
∵x2>x1∴x2﹣x1>0.
∴f(x2)﹣f(x1)<0,f(x2)<f(x1)
因此函数f(x)在(0,1)上是减函数
(III)f(x)在(﹣1,0)上是减函数.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性定义,要注意奇偶性要先判断,单调性变形要到位
20. 已知二次函数满足以下要求:①函数的值域为;②对恒成立。
求:(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设,求时M(x)的值域。
参考答案:
(1) ;(2)
【分析】
(1)将写成顶点式,然后根据最小值和对称轴进行分析;(2)先将表示出来,然后利用换元法以及对勾函数的单调性求解值域.
【详解】解:(1)∵
又∵
∴对称轴为
∵值域为
∴且
∴,,则函数
(2)∵
∵
∴令,则
∴
∵∴,则
所求值域为
【点睛】对于形如的函数,其单调增区间是:和,单调减区间是:和.
21. 已知数列{}的前项和,
(1)求数列的通项公式;
(2)设,且,求.
参考答案:
解析:(1)∵Sn=n2+2n ∴当时,
当n=1时,a1=S1=3, ,满足上式.
故
(2)∵, ∴
∴
∴
22. 设函数,,,且以为最小正周期.
(1)求的解析式;(2)已知,求的值.
参考答案:
解:(1)由题意
(2)
略
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