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江苏省无锡市胡埭中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若复数z满足(i为虚数单位),则z=( )
A.1+ i B.1-i C. i D.-i
参考答案:
D
2. 若函数的定义域是[-1,1],则函数的定义域是 ( )
A.[-1,1] B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 设不等式组表示的平面区域为表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则=( )
A. 1012 B. 2012 C. 3021 D. 4001
参考答案:
C
因为,所以令,又为整数,所以.当x=1时,,有3n个整数点;当x=2时,,有2n个整数点;当x=3时,,有n个整数点.综上,共有6n个整数点,所以.则数列是以为首项,公差为12的等差数列.故
.
4. 若方程在上有两个不相等的实数解,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
因为,所以 ,即时,函数单调递增, 时,函数单调递减,因此,选C.
点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.
5. 已知函数f(x)=若y=f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.[2,4] B.[2,4] C.(2,+∞) D.[2,+∞)
参考答案:
A
【考点】函数单调性的性质.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由条件f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,根据二次函数、指数函数的单调性以及增函数的定义便可得到,这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围.
【解答】解:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
∴;
解得2≤a≤4;
∴实数a的取值范围为[2,4].
故选:A.
【点评】考查分段函数单调性的判断,二次函数、指数函数的单调性,以及增函数的定义.
6. 已知条件;条件 ,若p是q的充分不必要条件,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
7. 设关于的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
8. 设为两个非零向量,则“”是“与共线”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
A
9. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
A
由三视图可知,这个几何体是水平放置的直三棱柱,且底面是直角三角形。则。
10. 下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入a、b、i的值分别为6、8、0,则输出a和i的值分别为( )
A. 0,3 B. 0,4 C. 2,3 D. 2,4
参考答案:
C
【分析】
执行循环,直至终止循环输出结果.
【详解】执行循环,得,结束循环,输出,此时,选C.
【点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列结论中正确命题的序号为 . (写出所有正确命题的序号)
①函数有三个零点;
②若,则与的夹角为钝角;
③若,则不等式成立的概率是;
④函数的最小值为2.
参考答案:
③
①函数恒成立,所以函数最多有一个零点。
②若,则与的夹角为钝角,错误,若,与的夹角也可能为1800;
③若,则不等式成立的概率是;
④因为函数时没有最小值,所以函数没有最小值。因为正确的只有③。
12. 若变量x,y满足约束条件,则w=4x?2y的最大值是 .
参考答案:
512
【考点】简单线性规划;有理数指数幂的化简求值.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数,根据数形结合得到最优解,求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件,作出可行域如图,
联立,解得B(3,3),
而w=4x?2y=22x+y,令z=2x+y,
则y=﹣2x+z,当直线y=﹣2x+z过B(3,3)时,z最大,
Zmax=9,
∴w=29=512,
故答案为:512.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题
13. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为 ;
参考答案:
14. 若函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则a的值 .
参考答案:
2或﹣1
考点:二次函数的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:利用二次函数的性质以及函数的零点判定定理推出结果即可.
解:函数f(x)=(a+2)x2+2ax+1有零点,
说明函数是二次函数,函数的图象与x轴有一个交点,
即△=4a2﹣4(a+2)=0
解得a=2或﹣1
故答案为:2或﹣1.
点评:本题考查二次函数的性质,函数的零点判定定理的应用,考查计算能力.
15. 已知是双曲线的右焦点,若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为 .
参考答案:
略
16. 由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为
参考答案:
17. 在中,角,,所对的边分别为,,,且,则= .
参考答案:
根据余弦定理可得,所以。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分分)
为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.
规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:
(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
(2)用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.
参考答案:
19. 已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等,且W与的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为A,直线l与直线OA(O为坐标原点)垂直,且l与W交于M,N两点.
(1)求W的方程;
(2)求的面积的最大值.
参考答案:
(1)由题意可得,∴ ,故的方程为.
(2)联立,得,∴ ,又在第一象限,∴.
故可设的方程为.
联立,得,
设,则, ,
∴ ,
又到直线的距离为,则的面积,
∴,当且仅当,即,满足,故的面积的最大值为.
20. (本小题满分12分)
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为AD中点,F为CC1中点。
(I)求证:AD⊥D1F;
(II)求证:CE∥平面AD1F;
(III)求平面AD1F与底面ABCD所成二角角的余弦值。
参考答案:
21. 已知定点,,满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线。
(1)求曲线的方程;
(2)过点的动直线与曲线的交点为,与过点垂直于轴的直线交于点,又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系,并证明。
参考答案:
(1)设,得。
(2)设代入得
得
当时,,,
又得,PD的中点,圆M的半径.
圆心M到时直线PF距离,
当 .
综上,直线PF与BD为辅直径的圆M相切。
略
22. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,
,,,平面平面,
是线段上一点,,,.
(1)证明:平面;
(2)设三棱锥与四棱锥的体积分别为
与,求的值.
参考答案:
(1)见解析;(2)
(1)证明: 平面平面,平面平面,
平面,,平面,…………………1分
平面 ………………………………2分
四边形是直角梯形,,
都是等腰直角三角形,
…………………………4分
平面,平面,,
平面…………………………………………………………………6分
(2)解: 三棱锥与三棱锥的体积相等,
由( 1 ) 知平面,
得,……………………………………………9分
设由,
得
从而 …………………………………12分
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