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湖南省湘潭市湘乡名民实验中学2022年高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{an}中,若,则( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
参考答案:
B
【分析】
由等差数列性质可得,则答案易求.
【详解】在等差数列中,因为,所以.
所以.故选B.
【点睛】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中,若,则.特别地,若,则.
2. 已知,则的大小关系是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
略
3. 若,则
A. B.
C. D.
参考答案:
4. 下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是( )
A.M={π},N={3.14159} B.M={2,3},N={(2,3)}
C.M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1} D.,
参考答案:
D
【考点】集合的相等.
【分析】根据两个集合相等,元素相同,排除A;
根据两个集合相等,元素相同,排除B
先解集合M,然后判断元素是否相同,排除C
先化简集合N,然后根据集合元素的无序性,选择D
【解答】解:
A:M={π},N={3.14159},因为π≠3.14159,故元素不同,集合也不同,故排除
B:M={2,3},N={(2,3)},因为M的元素为2和3,而N的元素为一个点(2,3),故元素不同,集合不同,故排除
C:M={x|﹣1<x≤1,x∈N},N={1},由M={x|﹣1<x≤1,x∈N}得,M={0,1},故两个集合不同,故排除
D:∵∴=,根据集合元素的无序性可以判断M=N,故选择D
故答案为D
【点评】本题考查两个集合相等的条件,涉及到元素相同以及集合元素的三个性质:无序性,互异性,确定性,为基础题
5. (6)如图,在正方体中,分别为,,,的中点,则异面直线与所成的角等于( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
参考答案:
B
略
6. 定义在上的函数的值域为,则函数的值域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 函数 (-1≤x≤3 )的值域是( )B
A.[0,12] B.[-,12] C.[-,12] D.[ ,12]
参考答案:
B
8. 已知非零向量与满足且=. 则△ABC为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形
参考答案:
A
【考点】GZ:三角形的形状判断.
【分析】通过向量的数量积为0,判断三角形是等腰三角形,通过=求出等腰三角形的顶角,然后判断三角形的形状.
【解答】解:因为,
所以∠BAC的平分线与BC垂直,三角形是等腰三角形.
又因为,所以∠BAC=60°,
所以三角形是正三角形.
故选A.
9. 在中,,.若点满足,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
10. 下列说法中,正确的是( ).
A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4
B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方
C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半
D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 .
参考答案:
【考点】LD:斜二测法画直观图.
【分析】根据斜二测画法的规则分别求出等腰梯形的直观图的上底和下底,以及高即可求出面积.
【解答】解:在等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰,下底AB=3,
∴高DE=1,
根据斜二测画法的规则可知,A'B'=AB=3,D'C'=DC=1,O'D'=,
直观图中的高D'F=O'D'sin45°═,
∴直观图A′B′C′D′的面积为,
故答案为:;
【点评】本题主要考查斜二测画法的规则,注意平行于坐标轴的直线平行性不变,平行x轴的线段长度不变,平行于y轴的长度减半.
12. 函数的最小正周期是 .
参考答案:
13. 设函数.对任意,恒成立,则实数的取值范围是__________.
参考答案:
已知为增函数且,
若,由复合函数的单调性可知和均为增函数,
故不合题意;
当时,,可得,
可得,
∵在上的最小值为,
∴,即,
解得:或(舍),
故实数的取值范围是.
14.
参考答案:
2<a<3;
15. 已知偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(x﹣1)>f(3﹣2x),求x的取值范围 .
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用函数f(x)的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性,
可把f(x﹣1)>f(3﹣2x)转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式,从而可以求解.
【解答】解:因为偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x﹣1)>f(3﹣2x)?f(|x﹣1|)>f(|3﹣2x|)?|x﹣1|>|3﹣2x|,
两边平方并化简得3x2﹣10x+8<0,
解得,所以x的取值范围为 ().
故答案为:().
【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查.解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”,转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式求解.
16. 函数y=lg(1﹣tanx)的定义域是 .
参考答案:
{x|,k∈Z}
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数成立的条件建立条件关系即可得到结论.
【解答】解:要使函数有意义,则1﹣tanx>0,
即tanx<1,
∴,k∈Z,
∴函数的定义域为:{x|,k∈Z},
故答案为:{x|,k∈Z}
17. ★ ;
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知函数(a>1),求证:
(1)函数f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
参考答案:
考点: 函数单调性的判断与证明;函数与方程的综合运用.
专题: 证明题.
分析: (1)证明函数的单调性,一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义;
(2)对于否定性命题的证明,可用反证法,先假设方程f(x)=0有负数根,经过层层推理,最后推出一个矛盾的结论.
解答: 证明:(1)设﹣1<x1<x2,
则
=,
∵﹣1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x1﹣x2<0,
∴;
∵﹣1<x1<x2,且a>1,∴,∴,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(2)假设x0是方程f(x)=0的负数根,且x0≠﹣1,则,
即,①
当﹣1<x0<0时,0<x0+1<1,∴,
∴,而由a>1知.∴①式不成立;
当x0<﹣1时,x0+1<0,∴,∴,而.
∴①式不成立.综上所述,方程f(x)=0没有负数根.
点评: (1)函数的单调性就是随着x的变大,y在变大就是增函数,y变小就是减函数,具有这样的性质就说函数具有单调性,符号表示:就是定义域内的任意取x1,x2,且x1<x2,比较f(x1),f(x2)的大小 (当f(x1)<f(x2)则是增函数,当f(x1)>f(x2)则是减函数);
(2)方程的根,就是指使方程成立的未知数的值.对于结论是否定形式的命题,往往用反证法证明.
19. 已知集合A={x|x2+ax+12b=0},集合B={x|x2﹣ax+b=0},满足(?UA)∩B={2},A∩(?UB)={4},U=R,求实数a,b的值.
参考答案:
解:因为(CUA)∩B={2},A∩(CUB)={4},
所以2∈B,4∈A,
∴,解得
考点:交、并、补集的混合运算.
专题:计算题.
分析:利用(CUA)∩B={2},A∩(CUB)={4},判断2,4与集合A、B的关系,得到方程组求出a,b即可.
解答:解:因为(CUA)∩B={2},A∩(CUB)={4},
所以2∈B,4∈A,
∴,解得.
点评:本题考查集合的交、并、补的运算,元素与集合的故选,考查计算能力.
20. 利用函数的单调性求函数的值域;
参考答案:
解析:,显然是的增函数,,
21. .(1)已知,且为第三象限角,求的值
(2)已知,计算 的值.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)由,结合为第三象限角,即可得解;
(2)由,代入求解即可.
【详解】(1),∴,又∵是第三象限.
∴
(2).
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系,属于基础题.
22. (本小题7分)函数是定义在(,)上的奇函数,且。
(1)确定函数的解析式;
(2)用定义证明:在(,)上是增函数;
(3)解不等式:。
参考答案:
略
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