河北省沧州市河间龙华店乡中学高三数学文测试题含解析

河北省沧州市河间龙华店乡中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知a，b∈R且a≠b，若aea=beb（e为自然对数的底数），则下列正确的是（　　） A．lna﹣lnb=b﹣a B．lna﹣lnb=a﹣b C．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a D．ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=a﹣b 参考答案： C 【考点】对数的运算性质． 【分析】构造函数f（x）=xex，利用导数研究函数的单调性，即可得到结论． 【解答】设f（x）=xex，则f'（x）=（x+1）ex， 由f′（x）＞0得x＞﹣1．由f′（x）＜0得x＜﹣1， ∴f（x）在（﹣∞，﹣1）为减函数，（﹣1，+∞）增函数， 即当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=﹣＜0， ∵f（0）=0，且当x＜0时，f（x）＜0． ∴由f（a）=f（b）知a＜0，b＜0． 由（﹣a）ea=（﹣b）eb得ln（﹣a）﹣ln（﹣b）=b﹣a． 故选：C． 2. 美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线，它的渐近线分别是轴和直线，其离心率e=（   ） A．   B．    C．    D．   参考答案： B 略 3. 已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则/(X)的取值范围是 A.       B.        C.          D. 参考答案： A 略 4. 在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的中点，点F在线段AD上并且AF=2DF，设=， =，则=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的三角形法则计算即可． 【解答】解：， 故选D． 【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的三角形法则，属于基础题． 5.   A．    B．   C．     D． 参考答案： A 略 6. 已知函数，给出下列四个说法：[来源:学§科§网Z§X§X§K] ①若，则；  ②的最小正周期是； ③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 其中正确说法的个数为 A.1个     B.2个     C.3个      D. 4个 参考答案： B ，若，则，所以，故①错；的最小正周期是，故②错；令，所以，故③对；令，所以，所以④对. 7. 给出下列命题：①在区间上，函数,,, 中有三个是增函数；②若，则；③若函数是奇函数，则的图象关于点对称；④若函数，则方程有个实数根，其中正确命题的个数为 （A）           （B）          （C）           （D） 参考答案： C ①在区间上,只有，是增函数，所以①错误。②由，可得，即，所以，所以②正确。③正确。④得，令，在同一坐标系下做出两个函数的图象，如图，由图象可知。函数有两个交点，所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C. 8. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20π  （B）24π  （C）28π  （D）32π 参考答案： C 几何体是圆锥与圆柱的组合体， 设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h． 由图得r=2，c=2πr=4π，由勾股定理得：， =4π+16π+8π=28π， 故选C．   9. 已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），则sin（π+α）=(     ) A．﹣ B． C．± D．﹣k 参考答案： A 考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值． 专题：三角函数的求值． 分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解． 解答： 解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π）， ∴sinα==， ∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣． 故选：A． 点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查． 10. 定义在R上的函数y=f（x）满足，（x﹣）f′（x）＞0，任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明；函数的图象． 【分析】由题意可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，在（，+∞）上是增函数，在（﹣∞，）上是减函数． 根据任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），可得 x1+x2＜5． 由x1+x2＜5可得x2 ﹣＜﹣x1，即x1离对称轴较远， 故f（x1）＞f（x2），由此得出结论． 【解答】解：∵，∴f（x）=f（5﹣x），即函数y=f（x）的图象关于直线x=对称． 又因，故函数y=f（x）在（，+∞）上是增函数． 再由对称性可得，函数y=f（x）在（﹣∞，）上是减函数． ∵任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），故x1和x2在区间（﹣∞，）上，∴x1+x2＜5． 反之，若 x1+x2＜5，则有x2 ﹣＜﹣x1，故x1离对称轴较远，x2 离对称轴较近， 由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x1）＞f（x2）． 综上可得，“任意的x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2）”是“x1+x2＜5”的充要条件， 故选C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知实数x，y满足，其中，则的最大值为_________. 参考答案： 【分析】 由定积分得=2，即实数满足，画出可行域，化简目标函数，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最大解，把最大解的坐标代入目标函数即可． 【详解】由定积分计算得， 所以实数满足 ，画出可行域，如图所示： 化简目标函数，令，得， 在可行域内平移，当移动到A时，取最大值. ，把A代入，得， 此时 故答案为： 【点睛】本题考查了定积分和指数的计算，简单的线性规划，目标函数的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题. 12. 抛物线＝－2y2的准线方程是                         .   参考答案：   13. 二项式(2x+)6的展开式中的常数项是             . 参考答案： 由，令，得，所以常数项是 14. 函数 为偶函数，则实数          参考答案：   因为函数为偶函数，所以，由，得，即。 15. 以抛物线y2＝4x上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为＿＿＿＿ 参考答案： 6 16. 若圆与圆相交于，则公共弦的长为________. 参考答案： AB所在的直线方程为：，圆心O到直线y=1的距离为1，所以。 17. 已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=2sinC，b2=ac，则cosB=　　． 参考答案：   【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】由正弦定理与sinA=2sinC，可解得a=2c，将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出． 【解答】解：在△ABC中，∵sinA=2sinC， ∴由正弦定理得a=2c， 由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB， 将b2=ac及a=2c代入上式解得：cosB===． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理，属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目，训练目标是灵活运用公式求值，属于基础题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10﹪衰减. （Ⅰ）求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式； （Ⅱ）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需要的时间）．（精确到0.1；参考数据：） 参考答案： 解：（Ⅰ）最初的质量为500g，     经过1年，ω=500（1-10﹪）=500×，     经过2年，ω=500×，            ……，       由此推出，t年后，ω=500×.      ------5分 （Ⅱ）解方程500×=250.         =，         ，           ，     所以，这种放射性元素的半衰期约为年. ------10分 19. 已知函数． (Ⅰ)解不等式； (Ⅱ)已知(m，n > 0)，若恒成立，求实数a的取值范围．   参考答案： (Ⅰ)解：不等式可化为：　　① 当时，①式为，解得； 2分 当，①式为，解得； 4分 当x > 1时，①式为，无解． 综上所述，不等式的解集为． 6分 (Ⅱ)解： 令 ∴时， 8分 要使不等式恒成立，只需，即 ∴实数a取值范围是． 10分   20. 已知函数 （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围. 参考答案： 21. 如图，，点A在直线l 上的射影为A1，点B在l上的射影为B1. 已知AB=2， AA1=1，BB1=，求：    （Ⅰ）直线AB分别与平面所成角的大小；    （Ⅱ）二面角A1—AB—B1的大小.   参考答案： 解法一：（I）如图，连接A1B，AB1. ∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA-1⊥，BB1⊥a. 则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角. Rt△BB1A中，BB1=，AB=2， ∴sin∠BAB1=   ∴∠BAB1=45° Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2， ∴sin∠ABA1=    ∴∠ABA1=30°. 故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.   （II）∵BB1⊥，  ∴平面ABB1⊥.在平面内过A1 作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作 EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB， ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴ 在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F=   ∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=， ∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin . 解法二：（I）同解法一. （II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0）， A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）. 在AB上取一点F（x , y, z），则存在t∈R，使得， 即(x, y, z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t, 1－t). 要使 即(t, t, 1－t)·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t=, ∴点F的坐标为 设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，），     ∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.   22. 已知函数，，且函数在点处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）设点，当时，直线的斜率恒小于，试求实数的取值范围； （Ⅲ）证明：. 参考答案： （Ⅰ），. 函数在点处的切线方程为，   即， 解得，    .     （Ⅱ）由、，得， ∴“当时，直线的斜率恒小于”当时，恒成立对恒成立.    令，. 则，   （ⅰ）当时，由，知恒成立， ∴在单调递增， ∴，不满