资源描述
河北省沧州市河间龙华店乡中学高三数学文测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知a,b∈R且a≠b,若aea=beb(e为自然对数的底数),则下列正确的是( )
A.lna﹣lnb=b﹣a B.lna﹣lnb=a﹣b
C.ln(﹣a)﹣ln(﹣b)=b﹣a D.ln(﹣a)﹣ln(﹣b)=a﹣b
参考答案:
C
【考点】对数的运算性质.
【分析】构造函数f(x)=xex,利用导数研究函数的单调性,即可得到结论.
【解答】设f(x)=xex,则f'(x)=(x+1)ex,
由f′(x)>0得x>﹣1.由f′(x)<0得x<﹣1,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)为减函数,(﹣1,+∞)增函数,
即当x=﹣1时,函数取得极小值f(﹣1)=﹣<0,
∵f(0)=0,且当x<0时,f(x)<0.
∴由f(a)=f(b)知a<0,b<0.
由(﹣a)ea=(﹣b)eb得ln(﹣a)﹣ln(﹣b)=b﹣a.
故选:C.
2. 美不胜收的“双勾函数” 是一个对称轴不在坐标轴上的双曲线,它的渐近线分别是轴和直线,其离心率e=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知函数和的图象的对称中心完全相同,若,则/(X)的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 在△ABC中,点D是BC的中点,点E是AC的中点,点F在线段AD上并且AF=2DF,设=, =,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】9H:平面向量的基本定理及其意义.
【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的三角形法则计算即可.
【解答】解:,
故选D.
【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的三角形法则,属于基础题.
5.
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知函数,给出下列四个说法:[来源:学§科§网Z§X§X§K]
①若,则; ②的最小正周期是;
③在区间上是增函数; ④的图象关于直线对称.[来源:学|科|网Z|X|X|K]
其中正确说法的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
参考答案:
B
,若,则,所以,故①错;的最小正周期是,故②错;令,所以,故③对;令,所以,所以④对.
7. 给出下列命题:①在区间上,函数,,, 中有三个是增函数;②若,则;③若函数是奇函数,则的图象关于点对称;④若函数,则方程有个实数根,其中正确命题的个数为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
①在区间上,只有,是增函数,所以①错误。②由,可得,即,所以,所以②正确。③正确。④得,令,在同一坐标系下做出两个函数的图象,如图,由图象可知。函数有两个交点,所以④正确。所以正确命题的个数为3个。选C.
8. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为
(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π
参考答案:
C
几何体是圆锥与圆柱的组合体,
设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.
由图得r=2,c=2πr=4π,由勾股定理得:,
=4π+16π+8π=28π,
故选C.
9. 已知cosα=k,k∈R,α∈(,π),则sin(π+α)=( )
A.﹣ B. C.± D.﹣k
参考答案:
A
考点:同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.
专题:三角函数的求值.
分析:由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα,从而由诱导公式即可得解.
解答: 解:∵cosα=k,k∈R,α∈(,π),
∴sinα==,
∴sin(π+α)=﹣sinα=﹣.
故选:A.
点评:本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值,属于基本知识的考查.
10. 定义在R上的函数y=f(x)满足,(x﹣)f′(x)>0,任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)是x1+x2<5的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
【考点】利用导数研究函数的单调性;必要条件、充分条件与充要条件的判断;函数单调性的判断与证明;函数的图象.
【分析】由题意可得y=f(x)的图象关于直线x=对称,在(,+∞)上是增函数,在(﹣∞,)上是减函数.
根据任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2),可得 x1+x2<5. 由x1+x2<5可得x2 ﹣<﹣x1,即x1离对称轴较远,
故f(x1)>f(x2),由此得出结论.
【解答】解:∵,∴f(x)=f(5﹣x),即函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
又因,故函数y=f(x)在(,+∞)上是增函数.
再由对称性可得,函数y=f(x)在(﹣∞,)上是减函数.
∵任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2),故x1和x2在区间(﹣∞,)上,∴x1+x2<5.
反之,若 x1+x2<5,则有x2 ﹣<﹣x1,故x1离对称轴较远,x2 离对称轴较近,
由函数的图象的对称性和单调性,可得f(x1)>f(x2).
综上可得,“任意的x1<x2,都有f(x1)>f(x2)”是“x1+x2<5”的充要条件,
故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数x,y满足,其中,则的最大值为_________.
参考答案:
【分析】
由定积分得=2,即实数满足,画出可行域,化简目标函数,令,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最大解,把最大解的坐标代入目标函数即可.
【详解】由定积分计算得,
所以实数满足 ,画出可行域,如图所示:
化简目标函数,令,得,
在可行域内平移,当移动到A时,取最大值.
,把A代入,得,
此时
故答案为:
【点睛】本题考查了定积分和指数的计算,简单的线性规划,目标函数的几何意义,考查了数形结合的解题思想方法,属于中档题.
12. 抛物线=-2y2的准线方程是 .
参考答案:
13. 二项式(2x+)6的展开式中的常数项是 .
参考答案:
由,令,得,所以常数项是
14. 函数 为偶函数,则实数
参考答案:
因为函数为偶函数,所以,由,得,即。
15. 以抛物线y2=4x上的点A(4.,4)为圆心,且与抛物线的准线相切的圆被x轴截得的弦长为____
参考答案:
6
16. 若圆与圆相交于,则公共弦的长为________.
参考答案:
AB所在的直线方程为:,圆心O到直线y=1的距离为1,所以。
17. 已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA=2sinC,b2=ac,则cosB= .
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由正弦定理与sinA=2sinC,可解得a=2c,将这些代入由余弦定理得出的关于cosB的方程即可求出.
【解答】解:在△ABC中,∵sinA=2sinC,
∴由正弦定理得a=2c,
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,
将b2=ac及a=2c代入上式解得:cosB===.
故答案为:.
【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理,属于运用定理建立所求量的方程通过解方程来求值的题目,训练目标是灵活运用公式求值,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
一种放射性元素,最初的质量为500g,按每年10﹪衰减.
(Ⅰ)求t年后,这种放射性元素质量ω的表达式;
(Ⅱ)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需要的时间).(精确到0.1;参考数据:)
参考答案:
解:(Ⅰ)最初的质量为500g,
经过1年,ω=500(1-10﹪)=500×,
经过2年,ω=500×,
……,
由此推出,t年后,ω=500×. ------5分
(Ⅱ)解方程500×=250.
=,
,
,
所以,这种放射性元素的半衰期约为年. ------10分
19. 已知函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)已知(m,n > 0),若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)解:不等式可化为: ①
当时,①式为,解得; 2分
当,①式为,解得; 4分
当x > 1时,①式为,无解.
综上所述,不等式的解集为. 6分
(Ⅱ)解:
令
∴时, 8分
要使不等式恒成立,只需,即
∴实数a取值范围是. 10分
20. 已知函数
(1)若,求不等式的解集;
(2)若方程有三个实数根,求实数的取值范围.
参考答案:
21. 如图,,点A在直线l
上的射影为A1,点B在l上的射影为B1. 已知AB=2,
AA1=1,BB1=,求:
(Ⅰ)直线AB分别与平面所成角的大小;
(Ⅱ)二面角A1—AB—B1的大小.
参考答案:
解法一:(I)如图,连接A1B,AB1.
∵⊥,∩=l,AA1⊥l,BB1⊥l,∴AA-1⊥,BB1⊥a.
则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与和所成的角.
Rt△BB1A中,BB1=,AB=2,
∴sin∠BAB1= ∴∠BAB1=45°
Rt△AA1B中,AA1=1,AB=2,
∴sin∠ABA1= ∴∠ABA1=30°.
故AB与平面,,所成的角分别是45°,30°.
(II)∵BB1⊥, ∴平面ABB1⊥.在平面内过A1
作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作
EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B1中,AA1=A1B1=1,∴
在Rt△AA1B中,由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F= ∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE=,
∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin .
解法二:(I)同解法一.
(II)如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),
A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).
在AB上取一点F(x , y, z),则存在t∈R,使得,
即(x, y, z-1)=t(,1,-1), ∴点F的坐标为(t, t, 1-t).
要使
即(t, t, 1-t)·(,1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得t=,
∴点F的坐标为
设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,),
∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.
22. 已知函数,,且函数在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)设点,当时,直线的斜率恒小于,试求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明:.
参考答案:
(Ⅰ),.
函数在点处的切线方程为,
即, 解得,
.
(Ⅱ)由、,得,
∴“当时,直线的斜率恒小于”当时,恒成立对恒成立.
令,.
则,
(ⅰ)当时,由,知恒成立,
∴在单调递增,
∴,不满
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索